Логицизм
направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», т. Е. Возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах «чистой» логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. Были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объёмам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики.
Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории (См. Множеств теория)), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена. Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге «Основные законы арифметики» (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге Противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л. Он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» её от противоречий.
Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации (См. Формализация) не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд «Principia Mathematica» (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления», или «теории типов». Формальные объекты этой теории разделялись на т. Н. Типы (ступени), и эта «иерархия типов» (а в др. Модификациях системы РМ — ещё дополнительная «иерархия уровней») позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см.
Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного «мира математики» (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика. Как показал К. Гёдель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика). Т. О., программа Л. «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой.
Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. Учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. Ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата. Лит. Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. С англ., М., 1957, гл. 3. Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. С англ., М., 1966, гл. 3. Ю. А. Гастев..
Дополнительный поиск Логицизм 
На нашем сайте Вы найдете значение "Логицизм" в словаре Большая Советская энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Логицизм, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "Л". Общая длина 8 символа
