Логицизм

- одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Мысль о сведении математики к логике высказывалась Г. Лейбницем (G. Leibniz, кон. 17 в.). Практическое осуществление логицистич. Тезиса было предпринято в кон. 19 - нач. 20 вв. В работах Г. Фреге и Б. Рассела (см. [1], [2]). Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математич. Теорему в аксиоматич. Системе можно рассматривать как нек-рое утверждение о логич. Следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логич. Термины. К концу 19 в. В математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними.

Попытка сведения натуральных чисел к логич. Понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами нек-рых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Б. Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (антиномия Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Б. Рассела к пересмотру взглядов на логику, к-рую он сформулировал в виде разветвленной типов теории. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, к-рые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, напр., аксиома бесконечности, к-рая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, т.

Е. Объектов наинизшего типа. В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал К. Гёдель [3], никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики. Лит. [1] F г е g е G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Bd 1-2, Jena, 1893-1903. [2] Whitehead A. N., R и s s e 1 1 В., Principia Mathematica, Camb., 1910. [3] G 6 d e 1 K., "Monatsh. Math. Und Phys.", 1931, Bd 38, S. 173-98. [4] К а р р и Х., Основания математической логики, пер. С англ., М., 1969. [5] Френкель А.- А., Бар-Xиллел И., Основания теории множеств, пер. С англ., М., 1966. В. Е. Плиско.