Асимптотическое выражение

сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю). А. В. Иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение. Функция φ(x) является А. В. Для f(x) при х → ∞ (или х → а), если f(x)/φ(x) → 1 при х → ∞ (или х → а), или, что то же самое, если f(x) = φ(x)[1 + α(x)], где α(х) → 0 при х → ∞ (или х → а). В этом случае пишут. F(x) Асимптотическое выражение φ(x) при х → ∞ (или х → а). Как правило, φ(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. В. При х → 0 могут служить sinx Асимптотическое выражение x, tgx Асимптотическое выражение x, ctgx Асимптотическое выражение 1/x, 1 - cosx Асимптотическое выражение x22, ln(1 + x) Асимптотическое выражение x, ax - 1 Асимптотическое выражение xlna (a > 0, a ≠ 1).

Более сложные А. В. При х → ∞ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, π(x) Асимптотическое выражение x/lnх, где π(x) — число простых чисел, не превосходящих х, где Г(u) — Гамма-функция , для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле (См. Стирлинга формула). Ещё более сложными А. В. Обладают, например, Бесселя функции. А. В. Рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, sin(x + iy) Асимптотическое выражение e/y//2 при y → ∞ и y → -∞. А. В. Является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

Лит. Де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. С англ., М., 1961. Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962. В. И. Левин.