Начала Евклида

(«Нача́ла» Евкли́да) научное произведение, написанное Евклидом в 3 в. До н. Э., содержащее основы античной математики. Элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Н.» Е. Не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Н.» Е. Не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы. «Н.» Е. Построены по дедуктивной системе. Сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (см.

Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например «что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (1 постулат). «И что от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат (аксиома о параллельных). «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух прямых».

Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих математиков (на протяжении почти 2 тыс. Лет) вывести его как теорему из др. Основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в которой этот постулат не выполняется (см. Лобачевского геометрия). За постулатами в «Н.» Е. Приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Например. «Равные одному и тому же равны и между собой» (1-я аксиома). «И целое больше части» (8-я аксиома). С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Е. Недостаточна для дедуктивного построения геометрии.

Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Н.» Е. Полностью выяснились лишь в конце 19 в. После работ Д. Гильберта (см. Евклидова геометрия). До этого на протяжении более 2 тыс. Лет «Н.» Е. Служили образцом научной строгости. По этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали геометрию. «Н.» Е. Состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга Пифагора теоремой (См.

Пифагора теорема). В книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. Е. Строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраическая символика в «Н.» Е. Отсутствует). В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским (См. Гиппократ Хиосский) во 2-й половине 5 в. До н. Э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский). Её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу.

В книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел. Здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в.

До н. Э.). В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Е. Были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Е. «Н.» Е. Получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. Учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики.

До нашего времени античный текст «Н.» Е. Не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко 2-й половине 9 в.). В конце 8 в. — начале 9 в. Появляются переводы «Н.» Е. На арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки отличаются существенными разночтениями. Подлинный текст «Н.» Е. Точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Е. В переводе Дж. Кампано на латинский язык появилось в Венеции в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен около 1250—1260. Кампано использовал как арабские источники, так и перевод Ателхарда Батского). Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», v. 1—5, Lipsiae, 1883—88), в котором приводится как греч.

Текст, так и его лат. Перевод. На русском языке «Н.» Е. Издавались многократно начиная с 18 в. Лучшее издание — «Начала Евклида», пер. С греч. И комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, т. 1—3, 1948—50. Лит. История математики с древнейших времён до начала нового времени, т. 1, М., 1970. И. Г. Башмакова, А. И. Маркушевич.