Независимость (в теории вероятностей)

Независимость в теории вероятностей, одно из важнейших понятий этой теории. В качестве примера можно привести определение Н. Двух случайных событий. Пусть А и В ‒ два случайных события, а Р (А) и Р (В) ‒ их вероятности. Условную вероятность Р (В|А) события В при условии осуществления события А определяют формулой:где Р (А и В) ‒ вероятность совместного осуществления событий А и В. Событие В называется независимым от события А, еслиР (В|А) = Р (В). (*) Равенство (*) может быть записано в виде, симметричном относительно А и В:Р (А и В) = Р (А) Р (В),откуда видно, что если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Т. О., можно говорить просто о Н. Двух событий. Конкретный смысл данного определения Н. Можно пояснить следующим образом.

Известно, что вероятность события находит своё выражение в частоте его появления. Поэтому если производится большое число N испытаний, то между частотой появления события В во всех N испытаниях и частотой его появления в тех испытаниях, в которых наступает событие, должно иметь место приближённое равенство. Н. Событий указывает, т. О., либо на отсутствие связи между наступлением этих событий, либо на несущественный характер этой связи. Так, событие, заключающееся в том, что наудачу выбранное лицо имеет фамилию, начинающуюся, например, с буквы «А», и событие, заключающееся в том, что этому лицу достанется выигрыш в очередном тираже лотереи, ‒ независимы. При определении Н. Нескольких (более двух) событий различают попарную и взаимную Н.

События A1, A2,.., An называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы в смысле данного выше определения, и взаимно независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от наступления какой угодно комбинации остальных. Понятие «Н.» распространяется и на случайные величины.