Независимость

IНезави́симость в логике, свойство предложения некоторой теории или формулы некоторого исчисления, заключающееся в том, что ни само это предложение, ни его отрицание не выводятся из данной системы предложений (например, какой-либо системы аксиом (См. Аксиома)) или соответственно из конъюнкции данных формул. Н. Какого-либо предложения от данной системы аксиом может быть установлена посредством доказательств непротиворечивости (См. Непротиворечивость) двух систем аксиом, получаемых соответствующим присоединением данного предложения и его отрицания к рассматриваемой системе аксиом. С Н. Связано также свойство дедуктивной полноты (см. Полнота в логике) аксиоматических теорий. Если непротиворечивая система аксиом дедуктивно полна, то присоединение к ней в качестве аксиомы любого независимого от неё предложения данной теории приводит к противоречию.

Когда речь идёт о Н. Содержательно формулируемых предложений, «выводимость» понимается в интуитивном смысле, «в соответствии с законами логики». При рассмотрении же формальных исчислений всегда фиксируются строго определённые правила вывода (См. Правило вывода) (по отношению к которым также можно ставить вопрос о Н.). Аналогично описанной выше «дедуктивной» Н. Можно говорить о Н. «выразительной», называя понятие (термин) независимым от данной системы понятий (терминов), если оно не может быть определено лишь с их помощью (опять-таки, как и выше, здесь предполагается фиксация некоторой совокупности правил определения, относительно которых можно ставить проблему Н.). Термин «Н.» (в обоих упомянутых смыслах) применяется, наконец, и к совокупностям предложений (формул) или понятий (терминов).

Совокупность называется независимой (а также неизбыточной, или минимальной), если каждый из её членов независим от остальных в определённом выше смысле. Ряд важнейших результатов о Н. Получен в аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) и в математической логике (См. Логика). Лит. См. При ст. Аксиоматический метод. Ю. А. Гастев. IIНезави́симость в теории вероятностей, одно из важнейших понятий этой теории. В качестве примера можно привести определение Н. Двух случайных событий. Пусть А и В — два случайных события, а Р (А) и Р (В) — их вероятности. Условную вероятность Р (В|А) события В при условии осуществления события А определяют формулой. где Р (А и В) — вероятность совместного осуществления событий А и В.

Событие В называется независимым от события А, если Р (В|А) = Р (В). (*) Равенство (*) может быть записано в виде, симметричном относительно А и В. Р (А и В) = Р (А) Р (В), откуда видно, что если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Т. О., можно говорить просто о Н. Двух событий. Конкретный смысл данного определения Н. Можно пояснить следующим образом. Известно, что вероятность события находит своё выражение в частоте его появления. Поэтому если производится большое число N испытаний, то между частотой появления события В во всех N испытаниях и частотой его появления в тех испытаниях, в которых наступает событие, должно иметь место приближённое равенство. Н. Событий указывает, т. О., либо на отсутствие связи между наступлением этих событий, либо на несущественный характер этой связи.

Так, событие, заключающееся в том, что наудачу выбранное лицо имеет фамилию, начинающуюся, например, с буквы «А», и событие, заключающееся в том, что этому лицу достанется выигрыш в очередном тираже лотереи, — независимы. При определении Н. Нескольких (более двух) событий различают попарную и взаимную Н. События A1, A2,..., An называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы в смысле данного выше определения, и взаимно независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от наступления какой угодно комбинации остальных. Понятие «Н.» распространяется и на случайные величины (См. Случайная величина). Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых двух интервалов Δ1 и Δ2 события, заключающиеся в том, что значение Х принадлежит Δ1, а значение Y — интервалу Δ2, независимы.

На гипотезе Н. Тех или иных событий и случайных величин основаны важнейшие схемы теории вероятностей (см., например, Предельные теоремы теории вероятностей). О способах проверки гипотезы Н. Каких-либо событий см. Статистическая проверка гипотез. Лит. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., М., 1964.