Равномерная сходимость

важный частный случай сходимости (См. Сходимость). Последовательность функций fn (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого ε > 0 существует такое N = N (ε), что |f (x) — fn (x)| < ε при n > N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций fn (x) = xn равномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f (x) = 0, так как |f (x) — fn (x)| ≤ (1/2) n < ε для всех 0 ≤ x ≤ 1/2, если только n > ln (1/ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f (x) = 0 при 0 ≤ x < 1 и f (1) = 1, т.к. Для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки η, удовлетворяющие неравенствам 1/2.

Понятие Р. С. Допускает простую геометрическую интерпретацию. Если последовательность функций fn (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f (x), то это означает, что для любого ε > 0 все кривые у = fn (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривыми у = f (x) ± ε для любого х из этого отрезка (см. Рис.). Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами. Например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной).

Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса. Каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. Также Приближение и интерполирование функций. Рис. К ст. Равномерная сходимость..