Структура (матем.)

Структура, решётка (математическая). Важное алгебраическое понятие. С. Называется непустое множество S, для элементов которого определены две операции — объединение и пересечение, обозначаемые соответственно значками È. И Ç. (т. Е. Каждой паре элементов а и b из S однозначно сопоставлен элемент a È. B из S — их объединение и элемент а Ç. B из S — их пересечение), причём эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам С.):1. Ассоциативность == (a Èb) È. С, = a È(b Èс):(a Ç. B) Ç. С= а Ç. (b Ç. С);II. Коммутативность a È. B = b Èа;a Ç. B) =b Çа,III. Абсорбция (а È. B) Ç. А= а.(a Ç. B) È. А== а.Примеры С. 1) множество целых положительных чисел с операциями взятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

2) множество всех подмножеств произвольного множества с операциями взятия теоретико-множественных объединения и пересечения подмножеств. 3) множество действительных чисел с операциями взятия большего и меньшего числа из двух данных чисел.Подробно изучены различные специальные типы С., т. Е. С., на которые наложены дополнительные условия (например, дистрибутивные С., модулярные, или дедекиндовы, С., С. С дополнениями). Весьма важным частным случаем С. Являются булевы алгебры, т. Е. Дистрибутивные С. С единицей и нулём, обладающие дополнениями к каждому элементу. Булевы алгебры имеют большое значение для математической логики и теории вероятностей. Другие типы С. Находят применение в теории множеств, топологии, функциональном анализе.В С.

Можно ввести частичное упорядочение (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества.