Адиабатический Инвариант

термин фи-зич. Происхождения с математически не вполне точным содержанием. Обычно А. И. Определяются как количественные характеристики движения гамильтоновой системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом (т. Е. Очень медленным по сравнению с характерным масштабом времени для движения в системе) изменении ее параметров (к-рое может продолжаться столь долго, что значения самих этих параметров, в отличие от А. И., значительно изменяются). Так, для простейшей системы где - малый параметр, а - положительная достаточно гладкая функция, А. И. Служит При система описывает обычный гармо-нич. Осциллятор с частотой таким образом, в данном случае при медленном (по сравнению с периодом колебания) изменении параметров системы ее энергия + меняется пропорционально частоте.

Как и в этом примере, обычно подразумевается, что если бы параметры вообще не изменялись, то рассматриваемая гамильтонова система была бы вполне интегрируемой и ее движения были бы квазипериодическими (в данном примере - просто периодическими). Известны и другие обобщения. Во многих работах математиков или специалистов по небесной механике, посвященных гамильтоновым системам, близким к вполне интегрируемым, термин "А. И." не используется, хотя полученная там информация позволяет утверждать, что те или иные величины в том или ином случае являются А. И. "Приближенное сохранение" А. И. означает, что при всех рассматриваемых разность остается малой. (При этом производная вполне может быть величиной того же порядка, что и производные других параметров системы, лишь бы с течением времени изменения А.

И. Не накапливались.) Такое приближенное сохранение может иметь место либо на очень большом, но конечном промежутке времени (временные А. И.), либо на всей бесконечной оси t (стационар-н ы е, или вечные, А. И. См. [1]). Слова "медленное изменение параметров системы" можно уточнять двумя способами. А) функция Гамильтона Нявно зависит от времени t(система неавтономна), но производная мала. Б) рассматриваемая система с канонич. Переменными представляет собой подсистему в большей системе с переменными к-рая уже автономна и такова, что либо изменяются медленно, либо их изменение слабо влияет на подсистему. При всех этих подстановках существование А. И. Можно утверждать лишь при различных дополнительных предположениях, к-рым трудно дать отчетливую общую формулировку (см., напр., [1]).

Временные А. И. Для систем описанного выше типа фактически относятся к асимптотич. Методам теории возмущений (при более общей постановке также имеются нек-рые строгие результаты, см. [4]). При доказательстве временной асимптотич. Инвариантности к.-л. Величины обычно строится другая величина с теми свойствами, что значения осциллируют возле имеет более высокий порядок малости, чем производные других параметров системы. Так, в примере для = (штрих обозначает производную от со по аргументу ) непосредственное дифференцирование дает это гарантирует, что - временной А. И. Существование вечных А. И. В случае а) при сколько-нибудь общем характере зависимости Нот t(исключающем, в частности, периодичность или существование пределов при ) сомнительно.

Для случая б) вопрос о вечных А. И. Связан с малыми знаменателями (см. [2]). Исторически А. И. Играли важную роль в квантовой теории Бора - Зоммерфельда, где имелся рецепт. Величины, подлежащие квантованию,- А. И. С созданием последовательной квантовой механики этот рецепт потерял значение. В современной физике А. И. Используются при исследовании движения заряженных частиц в электромагнитных полях (см. [3]). Здесь чаще всего фигурирует отношение , где Н - величина напряженности магнитного поля, - компонента скорости частицы, лежащая в плоскости, перпендикулярной к вектору Н;это отношение является А. И. При условии, что магнитное поле мало изменяется по длине ларморовского радиуса. Кроме того, в квантовой механике при адиабатическом изменении состояния нек-рые величины сохраняют свои значения (напр., квантовые числа), исключая процессы, приводящие к вырожденным состояниям системы.

Поэтому в квантовой механике тоже можно говорить об А. И., однако они не играют в ней особой роли и даже сам этот термин там обычно не вводится. Лит.:[1] Мандельштам Л. И., Андронов А. А., Леонтович М. А., "Журнал Русского физико-химического о-ва", 1928, т. 60, № 5, с. 413-19. [2] Арнольд В. И., "Успехи матем. Наук", 1963, т. 18, № 6, с. 91-192. [3] Нортроп Т., Адиабатическая теория движения заряженных частиц, пер. С англ., М., 1967. [4] Kasuga Т., "Proc. Japan. Acad.", 1961, v. 37, № 7, p. 366-82. Д. В. Аносов, А. П. Фаворский.