Алгебраических Систем Квазимногообразие

- класс алгебраич. Систем ( -систем), аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич. Языка 1-й ступени, к-рые наз. Квазитождествами, или условными тождествами, и имеют вид. где - термы сигнатуры от предметных переменных . В силу теоремы Мальцева [1], А. С. К. сигнатуры может быть определено также как абстрактный класс -систем, содержащий единичную -систему и замкнутый относительно подсистем и фильтрованных произведений (см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс -систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную -систему и замкнут относительно подсистем и декартовых произведений. Если - квазимногообразие сигнатуры , то подкласс тех систем , которые изоморфно вложимы в подходящие системы из некоторого квазимногообразия сигнатуры , сам является квазимногообразием.

Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть квазимногообразие. Класс ассоциативных колец без делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также является квазимногообразием. Квазпмногообразие сигнатуры наз. Конечно определимым (или обладающим конечным базисом квазитождеств), если существует такое конечное множество квазитождеств сигнатуры , что состоит из тех и только тех -систем, в к-рых истинны все формулы из множества . Напр., квазимногообразне всех полугрупп с сокращением определяется двумя квазитождествами и потому конечно определимо. Напротив, квазимногообразне полугрупп, вложпмых в группы, не имеет конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]). Если - произвольный (не обязательно абстрактный) класс -систем, то наименьшее среди квазимногообразий, содержащих , наз.

Импликативным замыканием класса . Оно состоит из подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений -систем из класса где - единичная система. Если - импликатпвное замыкание класса -систем , то наз. Порождающим классом квазимногообразия . Квазимногообразие порождается одной системой тогда и только тогда, когда для любых двух систем существует в классе система содержащая подсистемы, изоморфные системам (см. [1]). Всякое квазимногообразие содержащее неодноэлементную систему, обладает свободными системами любого ранга, к-рые являются одновременно свободными системами в эк-вациональном замыкании класса Квазимногообразия -систем, содержащиеся в к.-л. Фиксированном квазимногообразия сигнатуры , составляют полную решетку относительно теоретико-множественного включения.

Атомы решетки всех квазпмногообразий сигнатуры наз. Минимальными квазимногообразиями сигнатуры . Минимальное квазимногообразие порождается любой своей неединичной системой. Каждое квазимногообразие , обладающее неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное квазнмногообразне. Если - квазимногообразие -систем конечной сигнатуры , то все его подквазимногообразия составляют группоид относительно мальцевского -умножения (см. [3]). Лит. [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970. Г2]Кон П., Универсальная алгебра, пер. С англ., М., 1968. [3] Мальцев А. И., "Снб. Матем. Ж.", 1967, т. 8, № 2, с. 346-65. Д. М. Смирнов.