Верхних И Нижних Функций Метод

метод доказательства существования решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Идея В. Н н. Ф. М. Для случая обыкновенных дифференциальных уравнений усматривается в работах Дж. Пеано (G. Peano, 1880), для случая Дирихле задачи и для Лапласа уравнения - в выметании методе А. Пуанкаре (Н. Poincare). Первое полное изложение В. И н. Ф. М. Для этого последнего случая дано О. Перроном [1]. Пусть поставлена задача Дирихле в области Gпространства для линейного однородного эллиптич. Уравнения 2-го порядка с непрерывными коэффициентами вида В. И н. Ф. М. Состоит в том, что, в предположении разрешимости задачи (1), (2) в малом, вводятся обобщенные супергармонич. Функции (соответственно субгармонические). Непрерывная на области G функция vназ.

Обобщенной супергармонпческой функцией (соответственно субгармонической) в области G, если для любого достаточно малого шара справедливо неравенство (соответственно ), где - непрерывная на Gфункция, равная вне и на его границе и удовлетворяющая внутри уравнению (1). Для непрерывной на границе функции f обобщенная супергармонич. (соответственно субгармоническая) функция vназ. Верхней (соответственно нижней), если для справедливо неравенство (соответственно ). Классы и всех, соответственно, верхних и нижних функций не пусты, причем если и (см. [3]). Обобщенное решение задачи Дирихле определяется как нижняя огибающая класса или как верхняя огибающая класса Если граница допускает существование барьера в каждой своей точке, то всюду на , т.

Е. и - классич. Решение задачи Дирихле. В общем случае поведение обобщенного решения (3) эллиптич. Уравнения (1) в точках границы совершенно аналогично поведению обобщенного решения уравнения Лапласа. См. Перрона метод. В. И н. Ф. М. Применяется также при исследовании первой краевой задачи для линейного однородного па-раболич. Уравнения 2-го порядка вида с начальным условием и краевым условием если ввести суперпараболические (субпараболические) функции, аналогичные по своим свойствам обобщенным супергармоническим (субгармоническим) функциям (см.[4]). Лит.:[1] Perron О., "Math. Z.", 1923, Bd 18, № 1/2, S. 42-54. [2] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961. [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер.

С англ., М., 1964. [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 3 изд., М., 1957. Л. И. Камынин, Е. Д. Соломенцев.