Вычет-форма

форма-вычет,- обобщение понятия вычета аналитич. Функции одного комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть X - комплексное аналитич. Многообразие, S - его аналитич. Одмногообразие комплексной коразмерности 1 и пусть -замкнутая внешняя дифференциальная форма класса на , имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Последнее означает, что для функции , голоморфной от хв окрестности точки и такой, что форма принадлежит классу . При этих условиях в окрестности Uлюбой точки существуют такие формы класса , что причем есть замкнутая форма класса , зависящая только от . Замкнутая форма на , определяемая в окрестности каждой точки , сужением , наз. Вычет-формой формы и обозначается Если форма голоморфна, то и ее В.-ф.

Голоморфна. Напр., для и формы где f, s- голоморфные функции в , grad на S, В.-ф. Равна в точках, где Для В.-ф. Имеет место формула вычета. где - произвольный цикл в Sразмерности, равной степени , - цикл в - граница нек-рой цепи в X, находящейся в общем положении с Sи пересекающейся с Кратная В.-ф. определяется по индукции. Вычет-класc (или класс-вычет) замкнутой в формы есть класс когомологий подмногообразия S, образованный В.-ф. Форм класса в , когомологичных и имеющих на Sполярную особенность 1-го порядка. Вычет-класс формы обозначается Вычет-класс голоморфной формы может не содержать голоморфной формы, так что в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм.

Однако это возможно, если X - Штейна многообразие. Вычет-класс не зависит от выбора со из одного и того же класса когомологий и осуществляет гомоморфизм группы классов когомологий многообразия в группу классов когомологий многообразия S. Как и для В.-ф., справедлива формула вычета. причем интеграл в правой части берется от любой формы из вычет-класса Res [w] и не зависит от ее выбора. Лит. См. При ст. Вычет аналитической функции [7], [8], [4]. А. П. Южаков.