Гармоническое Колебание

синусоидальное колебание,- периодическое изменение во времени физич. Величины, записываемое аналитически в виде где - значение колеблющейся величины в момент времени - амплитуда, - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза колебаний. Продолжительность одного полного колебания, равная наз. Периодом Г. К., а величина , равная числу полных колебаний в единицу времени, наз. Частотой Г. К. (). Период Г. К. Не зависит от амплитуды. Скорость, ускорение и все высшие производные гармонически колеблющейся величины изменяются гармонически с той же частотой. На фазовой плоскости Г. К. Изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии абсолютно точные Г. К. Не встречаются. Однако существует много важных процессов, близких к Г.

К. Таковы малые колебания механич. Систем относительно их устойчивого положения равновесия. Получающиеся при этом частоты (так наз. Собственные частоты) колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются лишь самой колеблющейся системой как таковой. Напр., малые колебания (под действием силы тяжести) математич. Маятника на нити длины lописываются дифференциальным уравнением где - ускорение силы тяжести, а - угол между вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого уравнения имеет вид где (собственная) частота колебаний зависит только от gи l, а амплитуда Аи фаза являются постоянными интегрирования, выбираемыми на основе начальных условий. Г. К. Играют большую роль в изучении общих колебаний, так как сложные периодически и почти периодически меняющиеся величины могут быть с любой степенью точности представлены суммой различных Г.

К. Математически это соответствует приближению функций тригонометрич. Рядами и Фурье интегралами. Классический ряд Фурье комплекснозначной функции , определенной на может рассматриваться как разложение на сумму Г. К. С целочисленными частотами Коэффициент Фурье определяет амплитуду и сдвиг фазы Г. К. Частоты п. Совокупность всех коэффициентов Фурье определяет спектр и показывает, какие Г. К. Действительно входят в и каковы амплитуды и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра заменяет знание функции . Функцию определенную на уже нельзя построить из Г. К. С целочисленными частотами. Для ее построения нужны колебания всех частот. Функция представляется в виде интеграла Фурье - спектральная плотность функции .

Эти представления функций являются основой Фурье методов решения различных задач в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Лит.:[1] Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959. Л. П. Купцов.