Грассмана Многообразие

множество всех -мерных подпространств в n-мерном векторном пространстве Vнад телом k. Если k - поле, то с помощью грассмановых координат (см. Внешняя алгебра).вкладывается в -мерное проективное пространство над kв виде компактного алгебраич. Многообразия. В изучении геометрич. Свойств Г. М. Большую роль играют так наз. Многообразия Шуберта am=<n определяемые следующим образом. Если - флаг подпространств, т. Е. Набор таких подпространств, что то любое -мерное алгебраич. Подмногообразие в Г. М. эквивалентно единственной целочисленной линейной комбинации многообразий где (см. [1]). В случаях, когда k - поле действительных чисел , поле комплексных чисел или тело кватернионов , Г. М. Над kможно рассматривать как компактное аналитич.

Многообразие (действительное при и и комплексное при ). Эти многообразия замечательны тем, что являются классифицирующими пространствами для классических групп соответственно. Точнее, для любого клеточного комплекса Х размерности , где соответственно, множество классов изоморфных m- мерных векторных расслоений над kс базой Xнаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством гомотопич. Классов непрерывных отображений (см. [2]). Аналогичная теория для групп 'и приводит к рассмотрению Г. М. ( или ) ориентированных m-мерных подпространств в . Перечисленные Г. М. Тесно связаны, в частности, с теорией характеристических классов. Роль, к-рую играют Г. М. В топологии, потребовала детального изучения их топологич.

Инвариантов. Старейший метод этого изучения основан на многообразиях Шуберта, с помощью к-рых легко построить клеточное разбиение для . Оказывается, в частности, что циклы порождают базисы групп гомологии Хорошо изучены также алгебры кого-мологий Г. М. И действие степеней Стинрода на них [3]. Другой аспект теории Г. М. Состоит в том, что они являются однородными пространствами линейной группы над соответствующим телом и представляют собой основные примеры неприводимых симметрических пространств. Многообразия, аналогичные Г. М., можно конструировать также из подпространств бесконечномерных векторных пространств. В частности, в теории деформаций аналитич. Структур существенную роль играет банахово аналитич. Многообразие , элементами к-рого являются замкнутые подпространства банахова пространства Внад , допускающие замкнутое прямое дополнение.

Лит.:[1]Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. С англ., т. 2, М., 1954. [2] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. С англ., М., 1970. [3] Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958. [4] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. С англ., М., 1961. А. Л. Онищик.