Гюйгенса Принцип

утверждение, в силу к-рого при распространении колебаний, описываемом волновым уравнением в пространстве нечетного числа измерений, резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее в другой точке, как явление, столь же резко ограниченное. В случае четного числа пространственных переменных Г. Н. Не имеет места - сигнал от локализованного начального возмущения, принятый в точке наблюдения, будет размытым. Г. П. Был впервые сформулирован X. Гюйгенсом (Ch. Huygens) в 1678 (см. [1]), а затем развит А. Френелем (A. Fresnel) в 1818 при исследовании проблем дифракции. Г. П. Является следствием математич. Факта, что решение волнового уравнения в точке Мтрехмерного пространства в момент tвыражается через значения решения и его производных на произвольной замкнутой поверхности, содержащей точку Мвнутри, в предшествующие моменты времени.

В частности, решение в точке ( М, t )задачи Коши для волнового уравнения определяется начальными данными только на пересечении начального многообразия с характеристич. Конусом точки ( М, t).и не зависит от начальных данных внутри характеристич. Конуса. Впервые строгая математич. Формулировка Г. П. Была дана Г. Гельмгольцем (Н. Hel-mholtz) в 1859 для стационарного и Г. Кирхгофом (G. Kirchhoff) в 1882 для нестационарного случаев. Обобщением Г. П. На линейные гиперболич. Уравнения 2-го порядка являются результаты Ж. Адамара (см. [2]), в силу к-рых решение задачи Коши для уравнения (*) при четных зависит лишь от начальных данных на пересечении начального многообразия с характеристич. Коноидом тогда и только тогда, когда в фундаментальном решении (*) отсутствуют логарифмич.

Члены. Об описании всего класса уравнений вида (*), для к-рых справедлив Г. П., см. [4]. Лит.:[1] Гюйгенс X., Трактат о свете, пер. С франц., М.-Л., 1935. [2] Hadamard J., Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, New Haven-L., 1923. [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. С англ., М., 1964. [4] Ибрагимов Н. X., Принцип Гюйгенса, в кн. Некоторые проблемы математики и механики, Л., 1970. А. Г. Свешников.