Гурса Задача

- решение гиперболич. Уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. Кривых, выходящих из одной точки. Для гиперболич. Уравнения заданного, напр., в области Г. З. Ставится следующим образом. Найти регулярное в области решение уравнения (1) и непрерывное в замыкании по краевому условию где и - заданные непрерывно дифференцируемые функции. Если функция Fнепрерывна для всех и для любой системы действительных значений переменных и допускает производные и , к-рые при тех же условиях по абсолютной величине меньше нек-рого числа, то в области существует единственное и устойчивое решение задачи (1), (2). При исследовании Г. З. В линейном случае фундаментальную роль играет функция Римана , к-рая однозначно определяется как решение уравнения удовлетворяющее на характеристиках и условию где - произвольная точка из области задания уравнения (3).

Если функции и снепрерывны, то функция Рнмана существует и по переменным является решением уравнения . Решение Г. З. (2) для уравнения (3) дается так наз. Формулой Римана. При она имеет вид. Из формулы Римана следует, что значение решения Г. З. В точке зависит лишь от значения заданных функций в характеристич. Четырехугольнике При это значение зависит лишь от значения функции y(x) и j(у)в промежутках и соответственно, а при функция Метод получения явных формул решения Г. З. С помощью функции Римана известен под названием метода Римана. Этот метод распространен на довольно широкий класс гиперболич. Систем 1-го н 2-го порядков. В частности, на систему вида (3), где а, b и с - квадратные симметрия, матрицы порядка п, а fи и - векторы с пкомпонентами.

Непосредственным обобщением Г. З. Является задача Дарбу- Пикара, к-рая состоит в определении решения гпперболич. Уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых g и d, выходящих из одной точки Аи расположенных в характеристич. Угле с вершиной в точке А. В частности, g и dмогут частично или полностью совпадать со сторонами этого угла. Эта задача исследована для уравнения вида (1). Г. З. Иногда наз. Задачей Дарбу. Под Г. З. Для гиперболич. Уравнений 2-го порядка с несколькими независимыми переменными часто понимают характеристич. Задачу, т. Е. Задачу отыскания решения по заданным его значениям на характеристич. Коноиде (см. Дифференциальные уравнения с частными производными;задача с данными на характеристиках).

Г. З. Названа по имени Э. Гурса (Е. Goursat), подробно ее исследовавшего. Лит.:[1] Гурса 9., Курс математического анализа, пер. С франц., т. 3, ч. 1, М.-Л., 1933. [2] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959. [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. С англ., М., 1964. [4] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. С итал., М., 1957. А. М. Нахушев.