Дарбу Сумма

- сумма специального вида. Пусть действительная функция f(x)определена и ограничена на отрезке [ а, b],- его разбиение. Суммы наз. Соответственно нижней и верхней интегральной Д. С. Для любых двух разбиений t и t' отрезка [ а, b]справедливо неравенство т. Е. Любая нижняя Д. С. Меньше верхней. Если - интегральная сумма Римана, то Геометрич. Смысл нижней и верхней Д. С. Заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины D х i и высотами соответственно mi и Mi (см. Рис.). Эти фигуры в случае, когда аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции f(x), осью абсцисс и отрезками прямых х=а и х=b (которые могут вырождаться в точки).

Величины (1) наз. Соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу. Они являются пределами нижних и верхних Д. С. где - мелкость разбиения т. Условие является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x)была интегрируема по Риману на отрезке [ а, b]. При этом в случае выполнения условия (2) значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана Условие (2) с помощью Д. С. Может быть сформулировано в следующей эквивалентной форме. Для любого е>0 существует такое разбиение т, что Условие также является необходимым и достаточным для интегрируемости по Риману функции на отрезке [ а, b]. При этом где wi(f) - колебание функции f(x)на отрезке Понятие нижних и верхних Д.

С. Обобщается на случай функций многих переменных, измеримых в смысле нек-рой положительной меры m. Пусть Е- измеримое (напр., по Жордану или по Лебегу) множество n-мерного пространства n=1, 2, ..., разбиение множества Е, т. Е. Система таких измеримых множеств Е, что Пусть функция f ограничена на множестве Е, Суммы также наз. Нижней и, соответственно, верхней Д. С. Нижний I* и верхний I* интегралы определяются по формулам (1). В случае меры Жордана их равенство является необходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Риману, причем их общее значение совпадает с интегралом Римана. В случае же меры Лебега для ограниченных измеримых по Лебегу функций всегда Вообще, если и. - полная 0-аддитивная мера, определенная на s-алгебре f - ограниченная m-измеримая на Едействительная функция, разбиение множества на m-измеримые множества Ei, удовлетворяющие условиям (3), (4), Д.

С. St. И St определяются по формулам (5) - (6), а интегралы I* и I* - по формулам (1), в к-рых везде под m понимают рассматриваемую меру, то Обобщением Д. С. Для неограниченных m-измеримых функций f, определенных на множествах являются ряды (если они абсолютно сходятся) где - разбиение множества (это разбиение состоит, вообще говоря, из бесконечного числа m-измеримых множеств Е i, удовлетворяющих условию (4) и, конечно, таких, что а mi и Mi определяются по формулам (5), при этом в формулах (7) (как и выше в формулах (6)) считается, что =0 =0. Если снова определить I* и I* по (1), понимая теперь st и St. В смысле (7), то I* = I*, причем в случае, когда величина I=I*=I* является конечной, функция f интегрируема по мере m и Названы по имени Г.

Дарбу [1]. Лит.:[1] Dаrbоuх G., "Ann. Sci. Ecole Norm, super.", 1875, ser. 2, t. 4, p. 57 - 112. [2] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1-2, М., 1971-73. [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1973. [4] Никольский СМ., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев..