Дзета-функция

z-ф у нкция, - 1) Д.-ф. В теории чисел - класс аналитич. Функций комплексного переменного, состоящий из z-функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д.-ф. И их обобщения в виде L-функций (см. Дирихле L-функции )лежат в основе современной аналитич. Теории чисел. Кроме z-функции Римана выделяются обебщенная Д.-ф. Z(s, a), дзета-функция Дедекинда, конгруэнц Д.-ф. И др. Дзета-функция Римана определяется рядом Дирихле абсолютно и равномерно сходящимся в любой конечной области комплексной s-плоскости, для к-рой d>0. При s>1 справедливо представление в виде произведения Эйлера где рпробегает все простые числа. Тождественность ряда (1) и произведения (2) представляет собой одно из основных свойств функции z(s). Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие z(s)с важнейшими теоретико-числовыми функциями.

Так, при s>1 где (х)- число простых чисел - Мангольдта функция,m(n).- Мёбиуса функция,t(п) - число делителей числа га, v(n) - число простых делителей числа п,l(n) - Лиувилля функция. Отсюда та исключительная роль, к-рую играет z(s) в теории чисел. Как функция действительного переменного, z(s). Была введена в 1737 Л. Эйлером (L. Euler, см. [1]), к-рый указал и ее разложение в произведение (2). Затем эта функция рассматривалась П. Дирихле (P. Dirichlet) и, особенно успешно, П. Л. Чебышевым (см. [2]) в связи с изучением закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции z(s). Были обнаружены позднее, когда ее стали рассматривать как функцию комплексного переменного. Первым это сделал в 1876 Б.

Риман (В. Riemann, см. [3]), к-рый показал следующее. а) z(s) допускает аналитич. Родолжение на всю комплексную s-плоскость в виде где Г(w) - гамма-функция, б) z(s) является регулярной функцией для всех значений s, кроме s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1, и удовлетворяет функциональному уравнению Это уравнение наз. Функциональным уравнением Римана. Для функции введенной Б. Риманом для исследования Д.-ф. И называемой кси-функцией Риман а, это уравнение принимает вид а если положить то оно принимает вид Последняя функция .3 замечательна тем, что она является четной целой функцией, действительной для действительных t, и ее нули на действительной оси соответствуют нулям функции z(s) на прямой 0=1/2.

в) Поскольку для s>1, то в силу (4) в полуплоскости s>0 эта функция имеет лишь простые нули в точках s=2v, v=l, 2,. Эти нули наз. Тривиальными нулями Д.-ф. Z(s). Далее z(s) неравно 0 для 0<s<1. Таким образом, все нетривиальные нули Д.-ф. Z(s). Являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно действительной оси i=0 и относительно вертикали s=1/2 и лежат в полосе к-рая наз. Критической полосой. продолжение Дзета-функция. Б. Риман высказал также следующие гипотезы. 1.Число N(T)нулей функции z(s). В прямоугольнике 0<i<T выражается формулой 2.Пусть р пробегает нетривиальные нули z(s). Тогда ряд сходится, а ряд расходится. 3. Функция z(s) представима в виде 4. Пусть Тогда при где Их- интегральный логарифм, 5.

Все нетривиальные нули Д.-ф. Z(s) лежат на прямой После Б. Римана проблема значений и, в частности, нулей Д.-ф. Приобрела широкую известность и ей посвящено большое число исследований. Гипотезы Римана 2 и 3 были доказаны Ж. Адамаром (J. Hadamard, 1893), причем оказалось, что в гипотезе 3 a=1/2, b = ln2+ +lnp-1-, где С- Эйлера постоянная;гипотезы 1 и 4 доказаны X. Мангольдтом (Н. Mangoldt, 1894), к-рый, кроме того, получил, для простых чисел, следующий важный аналог формулы 5. Если то при где r=b+ig пробегает нетривиальные нули z(s), a символ означает предел суммы при T стремящимся к бесконечности. Эта формула, как и формула (5), показывает, что проблема распределения простых чисел в натуральном ряду тесно связана с расположением нетривиальных нулей функции z(s).

Последняя гипотеза 5 не доказана и не опровергнута. Это - знаменитая Римана гипотеза о нулях Д.-Ф. Функция z(s)однозначно определяется своим функциональным уравнением. Точнее (см. [4]), любая функция, представимая обыкновенным рядом Дирихле и удовлетворяющая уравнению (4), при довольно широких условиях относительно ее регулярности, совпадает с z(s) с точностью до постоянного множителя. При и постоянном h>0 для 0<s<1, x>h, y>h, 2pxy=|t| имеет место приближенное функциональное уравнение полученное X. Харди (Н. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1920 (см. [4]). Это уравнение играет значительную роль в современной теории Д.-ф. И ее приложениях. Существуют общие методы получения такого рода результатов не только для класса Д.-ф., но и вообще функций Дирихле, обладающих функциональным уравнением риманова типа (3).

Наиболее совершенный из них указан в [5]. В случае z(s)он приводит, при любом t с |argt|<p/2, к соотношению где F(z, x)- неполная гамма-функция;при получается приближенное уравнение (6). При t=1 это соотношение совпадает с исходной формулой (3). Главной проблемой в теории Д.-ф. Является проблема расположения ее нетривиальных нулей и вообще значений в области К числу основных направлений в исследованиях Д.-ф. Относятся. Определение возможно более широкой области слева от прямой s= 1, где проблема порядка и средних значений Д.-ф. В критич. Полосе. Оценки числа нулей Д.-ф. На прямой s= 1/2 и вне этой прямой и т. Д. Первый нетривиальный результат о границе нулей Д.-ф. Был получен Ш. Ж. Балле Пуссеном (Ch. J. La Vallee-Poussin) в 1896.

Он показал, что существует такая постоянная А>0, что Дальнейшие продвижения в этом направлении связаны с приближенным уравнением (6) и развитием методов оценок тригонометрия, сумм. Самый мощный метод оценок такого рода принадлежит И. М. Виноградову (см. Виноградова метод). Последняя (к 1978) граница области, свободной от нулей Д.-ф., получена И. М. Виноградовым в 1958 (см. [7]). Она имеет вид (7) с Для простых чисел ей соответствует формула Существует определенная связь между ростом модуля функции z(s) и отсутствием нулей в окрестности прямой s=1. Так, результат (7) с является следствием оценок С другой стороны, известно (см. [4]), что и, если верна гипотеза Римана, то эти пределы, соответственно, не больше, чем 2е С и Порядок дзета-функции в критической полосе есть число h(s), означающее нижнюю границу таких чисел v, что z(s+it) = O(|t|v).

При s>1, h(s)=0, a при s<0 имеет место Точные значения функции h(а)для неизвестны. Простейшее предположение - Линделёфа гипотеза- состоит в том, что Это эквивалентно утверждению, что При справедлива оценка Последняя известная (к 1978) оценка z(s) на прямой (см. [4]) далека от ожидаемой оценки (8). Она имеет вид Проблема среднего значения дзета-функции состоит в определении свойств функции при для любого заданного s и k=1, 2, . Результаты имеют приложения при изучении проблемы нулей Д.-ф. И непосредственно в теории чисел. Доказано, что (см. [4]) При (см. [4]) В случаях k>2 известно только, что при где tk(n) - число представлений п в виде кцелых положительных сомножителей, и что асимптотич.

Соотношение для s>1/2 является эквивалентом гипотезы Линделёфа. Важное место в теории Д.-ф. Занимает проблема оценки функции N(s, T), означающей число нулей b+ig функции z(s) при b>s,В основе современных оценок N (s, Т )лежат теоремы о выпуклости средних значений аналитич. Функций, применяемые к функции Если для нек-poro Х=Х(s, Т), I при равномерно для s>a, где l(s).- положительная невозрастающая функция с ограниченной производной, а - постоянная, то равномерно для Известно также, что если при то равномерно для Эти два предложения позволили получить (см. [4]) следующие плотностные теоремы о нулях дзета-функции. равномерно для с привлечением иных соображений в [8] получена плотностная теорема.

если справедлива гипотеза Линделёфа, то О нулях дзета-функции на прямой По гипотезе Римана, все нетривиальные нули Д.-ф. Лежат на прямой Тот факт, что на. Этой прямой Д.-ф. Имеет бесконечно много нулей, впервые был доказан X. Харди в 1914 (см. [4]) на основе формулы Рамануджана Последний результат принадлежит А. Сельбергу (A. Selberg, 1942. См. [4]). Число N0(T)нулей z(s), имеющих вид удовлетворяет неравенству Это означает, что число нулей Д.-ф. На прямой s=1/2 имеет тот же порядок роста, что и число всех ее нетривиальных нулей. Относительно нулей Д.-ф. На этой прямой известны и другого рода результаты. Приближенное функциональное уравнение позволяет фактически вычислить (с нек-рой степенью точности) значения ближайших к действительной оси нулей z(s).

На основе этого метода на ЭВМ вычислены нули z(s) в прямоугольнике . Их число равно 3,5.106, и все они лежат на прямой Ординаты первых шести нулей с точностью до второго десятичного знака равны 14,13. 21,02. 25,01. 30,42. 32,93. 37,58. Вообще, расстояние между соседними нулями z(s) оценивается теоремой Литлвуда (1924). Для любого достаточно большого Тфункция z(s) имеет такой нуль b+ig, что Обобщенная дзета-функция определяется для 0<a<1 рядом При a=1 она обращается в дзета-функцию Римана. Аналитическое продолжение на всю плоскость осуществляется формулой где интеграл берется по контуру L, представляющему собой путь из бесконечности по верхнему краю разреза положительной действительной оси до нек-рого фиксированного 0<r<2p, затем вдоль окружности радиуса rпротив часовой стрелки и снова в бесконечность по нижнему краю разреза.

Функция z(s, а)регулярна всюду, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Она играет важную роль в теории L-функций Дирихле (см. [9], [10]). Дзета-функция Дедекинда - аналог дзета-функции Римана для полей алгебраич. Чисел, введенный Р. Дедекиндом (см. [11]). Пусть К- поле алгебраических чисел степени n=r1+2r2>1, где r1- число действительных, r2- число пар комплексно сопряженных полей в k;пусть далее D - дискриминант, h- число классов дивизоров, R-регулятор поля к, g- число содержащихся в ккорней из 1. Дзета-функция Дедекинда zk(s)поля k. Определяется рядом где U пробегает все целые отличные от нуля дивизоры поля к,- норма дивизора U. Этот ряд абсолютно и равномерно сходится при d>0, определяя аналитич.

Функцию, регулярную в полуплоскости s>1. При s>1 будет где f(m) - число целых дивизоров поля kс нормой m, t п (т)- число представлений тв виде пнатуральных сомножителей. При s>1 имеет место тождество Эйлера где B пробегает все простые дивизоры поля k. Основные свойства дзета-функции Дедекинда (см. [11]). 1) zk(s) регулярна на всей комплексной плоскости, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом 2) zk(s) удовлетворяет функциональному уравнению где 3) При r=r1+r2-1>0 в точке s=0 функция zk(s)имеет нуль порядка r. при r=0. В точках s=- 2v, v=l, 2, ..., дзета-функция Дедекинда zk(s) имеет нули порядка r+1, в точках s=-2v-1 при r2>0 - нули порядка r2, а при r2=0 не равна нулю.

Это - тривиальные нули функции zk(s). 4) Все остальные нули функции zk(s) лежат в критич. Полосе Основная гипотеза состоит в том, что все нетривиальные нули функции zk(s) находятся на прямой s=1/2. Установлено, что zk(s) не имеет нулей на прямой s=1. Более того, существует абсолютная положительная постоянная Аи зависящая от параметров поля кпостоянная X, обладающие тем свойством, что Вообще, в случае фиксированных параметров поля кдля zk(s) имеют место многие результаты, аналогичные результатам для дзета-функции Римана. Однако в общем случае теория дзета-функции Дедекинда сложнее, поскольку она включает в себя и теорию Дирихле L-функций. Так, неизвестно (1978), имеют ли дзета-функции Дедекинда действительные нули между 0 и 1.

Точная зависимость между дзета-функцией Дедекинда и L-рядами рационального поля имеет следующий вид. Пусть k*- минимальное поле Галуа, к-рому принадлежит к, Q- группа Галуа поля к*, h- число классов группы Q,ci- простые характеры группы Q, Тогда где z(s) - дзета-функция Римана, Lсуть L-ряды Артина, ci=ci(k)- целые положительные числа, к-рые определяются свойствами относительной группы Галуа поля к*. В частности, если к- круговое расширение, то k* = k, h=j(n), ci=1, и L-ряды Артина становятся обычными L-рядами Дирихле. Наряду с дзета-функцией Дедекинда zk(s) рассматриваются и zk(s. Hj) - дзета-функции Дедекинда класса дивизоров Hj поля к. Эти функции определяются теми же рядами, что и zk(s), но только пробегает не все, а лишь целые дивизоры, к-рые принадлежат заданному классу Hj.

Функции zk(s. Hj )обладают свойствами, близкими свойствам zk(s). Справедлива формула Дзета-функции Дедекинда лежат в основе современной аналитич. Теории дивизоров полей алгебраич. Чисел. Здесь они играют такую же роль, какую играет дзета-функция Римана в теории чисел рационального поля. Аналогом дзета-функции Дедекинда для полей алгебраич. Функций от одного переменного с конечным полем констант является конгруэнц дзета-функция, или дзета-функция Артина- Шмидта (см. Ниже Дзета-функция в алгебраической геометрии). Лит.:[1] Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, 2 изд., т. 1, пер. С латин., М., 1961. [2] Чебышев П. .