Интегрирование Дифференциальных Уравнении В Замкнутой Форме

- представление решений дифференциальных уравнений аналитич. Формулами, использующими указанный априори запас функций и перечисленный заранее набор математич. Операций. Если в качестве функций допускаются элементарные функции и функции, входящие в уравнение, а под операциями понимаются конечные последовательности алгебраич. Операций и операций взятия неопределенного интеграла (квадратуры) от допустимых функций, то говорят об интегрировании (т. Е. Решении) дифференциальных уравнений в квадратурах. Примером обыкновенного дифференциального уравнения, интегрируемого в квадратурах, служит Вернулли уравнение. Ж. Лиувилль (см. [1]) впервые указал уравнение, интегрирование к-рого в квадратурах невозможно. Так, решения уравнения нельзя выразить через элементарные функции и интегралы от них (см.

[2]). Обыкновенные дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в квадратурах крайне редко. Наиболее глубокие результаты о возможности интегрирования в квадратурах получаются на основе восходящей к С. Ли (см. [3]) теории непрерывных групп преобразований (см. [4], [5]). И. Д. У. В з. Ф. Допускает привлечение специальных функций, представление решений в виде сходящихся рядов и т. Д. Любое конкретное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами интегрируется в замкнутой форме, если включить в допустимые конечное число функций (вообще говоря, специальных), составляющих фундаментальную систему решений этого уравнения. Например, если ввести Бесселя функции, то с их помощью записывается формула для общего решения уравнения (*).

Таким образом, дифференциальные уравнения являются источником специальных функций, включение к-рых в число допустимых позволяет расширять класс уравнений, разрешимых в замкнутой форме. Однако проблема интегрирования в замкнутой форме нелинейного уравнения в общем случае не сводится к пополнению множества допустимых функций конечным числом специальных функций. Для дифференциальных уравнений с частными производными формулы для решений удается получить лишь в отдельных специальных случаях (см., напр., Д'Аламбера формула). При отыскании формул для решений таких уравнений большое значение имеют групповые методы (см. [5]). Лит.:[1] Liоuvillе J., "J. Math, pures et appl.", ser. 1, 1841, v. 6. [2] Капланский И., Введение в дифференциальную алгебру, пер.

С англ., М., 1959. [3] Lie S., Scheflers G., Vorlesungen iiber Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transiormationen, Lpz., 1891. [4] А й н с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. С англ., Хар., 1939. [5] Овсянников Л. В., Групповые свойства дифференциальных уравнений, Новосиб., 1962. [6] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. С нем., 5 изд., М., 1976. [7] его же, Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. С нем., М., 1966. Н. X. Розов,.