Исключительное Подмногообразие

- замкнутое подмногообразие У алгебраич. Многообразия Xопределенного над алгебраич. Замкнутым полем, к-рое при помощи некоторого собственного бирационального морфизма f . Может быть отображено на подмногообразие У меньшей размерности и при этом f :- изоморфизм. Морфизм f наз. стягиванием подмногообразия У на Y'=f(Y);это понятие является частным случаем понятия модификации алгебраич. Пространств [3]. В случае, когда X, Y, X' и Y' являются гладкими неприводимыми многообразиями, И. П. Yназ. Исключительным подмногообразием 1-го рода. Если И. П. У имеет коразмерность 1 в X, то оно наз. Также исключительным дивизором. Исключительный дивизор на алгебраич. Поверхности наз. Исключительной кривой. Понятие И. П. Естественным образом распространяется на схемы, комплексные аналитич.

И алгебраич. Пространства. Соответствующий морфизм при этом также наз. Стягиванием. Естественным образом определяется понятие И. П. 1-го рода. И. П. Комплексного аналитич. Ространства наз. Также исключительным аналитич. Множеством. Характеризация И. П. Внутри объемлющего многообразия - одна из основных задач бирациональной геометрии. Исторически первый пример такой характеризации - критерий Касте льнуово - Энрикеса. Неприводимая полная кривая Y на гладкой поверхности Xтогда и только тогда является И. П. 1-го рода, когда она изоморфна проективной прямой Р 1 и индекс ее самопересечения (Y -Y )на Xравен -1 (см. [1], [9]). Этот критерий допускает обобщение на одномерные подсхемы двумерных регулярных схем (см. [6], [10]). Если - произвольная связная полная кривая c неприводимыми компонентами Yi на гладкой проективной поверхности X, то необходимое (но не достаточное) условие исключительноети кривой У состоит в отрицательной определенности матрицы (YiYj).

(см. [2]). В случаях связной компактной комплексной кривой на гладкой комплексной поверхности и связной полной кривой на гладком двумерном алгебраич. Пространстве аналогичное условие является необходимым и достаточным условием исключительности. Многомерное обобщение критерия Кастельнуово - Энрикеса для стягивания в точку имеет следующий вид [5]. Неприводимое полное подмногообразие У в гладком алгебраич. Многообразии Xтогда и только тогда является И. П. 1-го рода относительно стягивания в точку, когда выполняются следующие два условия. А) где r=dim X-1. Б) нормальное расслоение NY/X к Y в X определяется дивизором -H, где Н- гиперплоскость в Р r. При этом X' проективно. Соответствующее стягивание f является моноидальным преобразованием с центром в точке f(Y) (см.

[7], [8]). В аналитич. Случае найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы связное компактное комплексное подмногообразие У в комплексном многообразии Xбыло И. П. 1-го рода. Соответствующее стягивание f необходимо является моноидальным преобразованием с центром в Y'=f(Y)(см. Исключительное аналитическое множество). Аналогичный критерий справедлив для алгебраич. Пространств [3]. Для алгебраич. Многообразий соответствующие условия необходимы, но не всегда достаточны. При стягивании f. И. П. 1-го рода У в алгебраич. Проективном многообразии Xна подмногообразие ненулевой размерности Y' в X' алгебраич. Многообразие X' может уже не быть проективным. Более того, если алгебраич. Многообразия Xи Y определены над полем комплексных чисел, то при аналитич.

Стягивании f И. П. 1-го рода Y не в точку многообразие X' в общем случае не является алгебраическим. Если рассматривать вопрос о стягиваемости в точку И. П. (не обязательно 1-го рода), то для полного связного алгебраич. Подпространства У гладкого алгебраич. Пространства Xдостаточным (но не необходимым при dim Х>2 )условием исключительности является отрицательность нормального расслоения NY/X. Аналогичный факт имеет место для комплексных пространств. В случае алгебраич. Пространств наиболее общий критерий исключительности утверждает, что в категории нётеровых алгебраич. Пространств подпространство У в Xтогда и только тогда является И. П., когда формальное пополнение в вдоль является И. П. В категории формальных алгебраич.

Пространств [3]. Иными словами, стягивание алгебраич. Подпространства возможно тогда и только тогда, когда возможно его соответствующее формальное стягивание. Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965, "Тр. Матем. Ин-та АН СССР". [2] Артин М., "Математика", 1965, т. 9, №3, с. 3-14. [3] Artin M., "Ann. Math.", 1970, v. 91, Л"" 1, p. 88-135. [4] Грауэрт Г., в кн. Комплексные пространства, М., 1965, с. 45 -104. [5] Коdairа К., "Ann. Math", 1954, v. 60, p. 28 - 48. [6] Liehtenbaum S., "Amer. J. Math.", 1968, v. 90, № 2, p. 380-405. [7] Nakanо S., "Publs Res. Inst. Math. Sci.", 1971, v. 6, № 3, p. 483-502. [8] Fujiki A., Nakanо S., там же, 1972, v. 7, № 3, p. 637-44. [9] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. [10] его же, Lectures on minimal models and borational transformations of two dimensional schemes, Bombay, 1966.

В. А. Псковских..