Каскад

в теории динамических систем, динамическая система с дискретным временем,- динамическая система, определяемая действием аддитивной группы целых чисел Z(или аддитивной полугруппы натуральных чисел N) на нек-ром фазовом пространстве W. Согласно общему определению действия группы (полугруппы), это означает, что каждому целому (натуральному) числу псопоставлено нек-рое преобразование Sn. WW, причем для всех Поэтому все преобразования Sn получаются из одного преобразования S=S1 посредством итерирования и (если n<0) обращения. Sn=(S)n при п>0, Sn=(S-1)n при n<0. Тем самым изучение К. По существу сводится к изучению свойств порождающего его преобразования S, и в этом смысле К. Являются простейшими динамич.

Системами. Поэтому К. Исследуются весьма интенсивно, хотя в приложениях чаще всего встречаются динамич. Системы с непрерывным временем ( потоки). Принципиальная сторона дела для потоков и К. Обычно одинакова, но случай К. Несколько проще технически, и в то же время полученные для них результаты часто без особого труда удается перенести на потоки - иногда путем формальной редукции свойств потоков к свойствам К., но чаще путем нек-рого видоизменения доказательств. Как и для любых динамич. Систем, обычно фазовое пространство Wнаделено нек-рой структурой, и преобразования Sn ее сохраняют. Напр., Wможет быть гладким многообразием, топологич. Пространством или пространством с мерой. Соответственно говорят о непрерывном, гладком или измеримом К.

(впрочем, в последнем случае определение обычно несколько видоизменяют, требуя, чтобы каждое Sn было определено почти всюду и чтобы при любых п, т равенство (*) имело место при почти всех w). Преобразование S, порождающее К., является в этих случаях диффеоморфизмом, гомеоморфизмом или автоморфизмом пространства с мерой (если речь идет о группе преобразований), либо гладким отображением, непрерывным отображением или эндоморфизмом пространства с мерой (если К. Является полугруппой)..