Корень

- 1) К. Степени n из числа a - число n-я степень х п к-рого равна а. 2) К. Алгебраического уравнения над полем К - элемент к-рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. Этого уравнения наз. Также и К. Многочлена Если сявляется К. Многочлена f(х), то f(x).делится без остатка на х-с (см. Безу теорема). Всякий многочлен f(x).с действительными или комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный К. Многочлен f(x). Можно записать в виде где с 1, с 2, . , с n - К. Многочлена f(x). Если среди К. Cj, с 2, . , сД многочлена f(x).встречаются равные, то общее их значение наз. Кратным корнем. 3) К. Из единицы - элемент поля k, удовлетворяющий уравнению х т=1 при нек-ром натуральном т.

К. Из единицы образуют подгруппу в мультипликативной группе поля k. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля kсостоит из К. Из единицы и является циклической. В частности, такова подгруппа Un всех К. Из единицы заданной степени п, содержащихся в алгебраич. Замыкании поля k, т. Е. Всех удовлетворяющих уравнению Если пвзаимно просто с характеристикой поля k(или эта характеристика равна 0), то порядок группы Un равен пи образующие этой группы наз. Первообразными корня м и степени n из единицы. Число таких корней в группе Un равно значению функции Эйлера j(n), т. Е. Числу вычетов по модулю га, взаимно простых с n. В поле характеристики р>0 не существует К. Из единицы степени р, отличных от 1. В случае, когда поле kконечно порождено над своим простым подполем, число К.

Из единицы, содержащихся в k, конечно. В поле комплексных чисел число z является К. Из единицы степени птогда и только тогда, когда |z|=1 и arg с целыми ти и, т. Е. Когда при этом первообразные К. Выделяются условием ( т, n)=1. На комплексной плоскости К. Из единицы степени га лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, что объясняет связь К. Из единицы с задачей о делении круга. К. Из единицы появляются в теории чисел в качестве значений ряда важных теоретико-числовых функций (абелевы числовые характеры, символ Лежандра, функция Мёбиуса, символ норменного вычета и т. Д.). В теории полей и алгебраич. Теории чисел важную роль играют поля, получаемые присоединением К. Из единицы к нек-рому основному полю (см.

Круговое поле, Круговое расширение, Куммера расширение). Лит.:[1] Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. С нем., М., 1976. [2] Л е н г С., Алгебра, пер. С англ., М., 1968. Л. В. Кузьмин.