Максимума Модуля Принцип

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитич. Функции. Пусть f(z) - регулярная аналитическая, или голоморфная, функция пкомплексных переменных в области Dкомплексного числового пространства отличная от константы, М. М. П. В локальной форме утверждает, что ни в какой точке не может достигаться локальный максимум модуля f(z), т. Е. Не существует окрестности, V(z0) точки z°, в к-рой выполняется неравенство , Если, кроме того, то z0 не может быть и точкой локального минимума модуля f(z). Равносильная формулировка М. М. П. В глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. Функции f(z) не может ..достигать своей верхней грани ни в какой точке Следовательно, если f(z) непрерывна в конечной замкнутой области D, то наибольшее значение Мдостигается только в граничных точках области D.

Приведенные формулировки М. М. П. Сохраняют силу и в том случае, если f(z) - голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области D. М. М. П. Допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности f(z) достаточно предположить только, что f(z)=u(z)+iv(z) - (комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции f(z) модуль |f(z)| есть логарифмически субгармоническая функция. Если f(z) - ограниченная голоморфная функция в конечной области и условие выполняется для всех точек кроме точек нек-рого множества внешней емкости нуль (в пространстве ), то всюду в D. См.

Также Двух констант теорема, Фрагмена - Линделёфа теорема. М. М. П. Обобщается и на голоморфные отображения. Пусть - голоморфное отображение области впространство то, - голоморфные функции в - евклидова норма. Тогда ни в какой точке функция ||f(z)|| не может достигать локального максимума. М. М. П. Справедлив всякий раз, когда выполняется сохранения области принцип. Лит.:[1] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. С рум., М., 1962. [2] В л а д и м и р о в В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев. .