Маятника Колебаний Уравнение

- обыкновенное дифференциальное уравнение вида где а- положительная константа. М. К. У. Возникает при изучении свободных колебаний в поле тяжести математич. Маятника - материальной точки, имеющей одну степень свободы и находящейся на конце нерастяжимого и несжимаемого невесомого подвеса, другой конец к-рого закреплен на шарнире, допускающем вращение маятника в вертикальной плоскости. Неизвестная функция x(t)- это угол отклонения маятника в момент tот нижнего положения равновесия, выраженный в радианах. где l- длина подвеса, g- ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид. Качественное изучение М. К. У. Производится с помощью закона сохранения энергии, связывающего положение и скорость маятника.

где E=const - полная энергия маятника. Масштаб времени можно выбрать так, чтобы было a=1. При этом значению полной энергии E<1 соответствует колебательное движение маятника (скорость периодически меняет знак), а значению E>1 соответствует вращательное движение (скорость сохраняет знак). Решение х(t)M. К. У. (*) с начальным условием приудовлетворяет соотношению где Якоби эллиптическая функцияsn имеет модуль Большое прикладное значение имеют уравнения, близкие к М. К. У. Наличие малого трения, зависящего от положения и скорости маятника, приводит к уравнению малые колебания маятника с трением описываются уравнением. Частным случаем к-рого является Ван дер Поля уравнение. Колебание маятника при периодич.

Изменении длины подвеса (движение качелей) описывается Хилла уравнением, важный частный случай к-рого - Матьё уравнение. Лит.:[1] Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1975. [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. С нем., 5 изд., М., 1978. [3] Андронов А. А., Витт А. А., Xaйкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959. Ю. С. Ильяшенко..