Норменныи Вычет

символ нор мен-ног о вычета, символ Гильберта,- функция, сопоставляющая упорядоченной паре элементов х, у мультипликативной группы нек-рого локального поля К элемент являющийся корнем из единицы. Эта функция может быть определена следующим образом. Пусть - нек-рый первообразный корень степени пиз единицы. Максимальное абе-лево расширение Lполя Kс группой Галуа показателя пполучается присоединением к Ккорней для всех . С другой стороны, существует кано-нич. Изоморфизм (основной изоморфизм локальной полей классов теории) Норменный вычет для пары х, у определяется из соотношения В частном случае, для квадратичных полей, понятие символа Н. В. Было введено Д. Гильбертом (D. Hilbert). Существует явное и использующее только локчльную теорию полей классов определение Н.

В. [4]. Свойствасимвола . 1)билинейность. 2) кососимметричность. 3) невырожденность. Из для всех следует, что из для всех следует, что . 4) если 5) если - автоморфизм поля К, то 6)пусть- конечное расширение поля и . Тогда где в левой части формулы символ Н. В. Рассматривается для поля , в правой части - для ноля , а - норменное отображение из K' в K. 7) из следует, что уявляется нормой из расширения (это свойство дало название символу). Функция (x, у)индуцирует невырожденное билинейное спаривание где - группа корней из единицы, порожденная . Пусть задано отображение в некоторую абелеву группу А, удовлетворяющее условиям 1), 4) и условию непрерывности. Для любого множество замкнуто в . Символ Н. В. Обладает следующим свойством универсальности [3].

Существует гомоморфизм такой, что для любых Это свойство служит основой аксиоматич. Определения Н. В. Если F- глобальное поле,a К- пополнение поля Fотносительно нек-рой точки v, то символом Н. В. Называют также функцию определенную на , получающуюся композицией (локального) символа Н. В.с естественным вложением . Иногда символом Н. В. Наз. Автоморфизм q(x) максимального абелева расширения поля К, соответствующий элементу в силу локальной теории полей классов. Лит.:[1] Алгебраическая теория чисел, пер. С англ., М., 1969. [2] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. С нем., М., 1973. [3] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. С англ., М., 1974. [4] Шафаревич И. Р., "Матем. Сб.", 1950, т. 26, №1, с. 113-46. Д. В. Кузьмин..