Операторная Эргодическая Теорема

общее название теорем о пределе средних по неограниченно удлиняющемуся "промежутку времени" п=0, 1, . .,N или для степеней {А п} линейного оператора А , действующего в банаховом (или даже топологическом векторном, см. [5]) пространстве Е, либо для действующей в Еоднопараметрич. Полугруппы линейных операторов {At}. В последнем случае можно рассматривать также предел средних по неограниченно уменьшающемуся промежутку времени (локальные эргодические теоремы, см. [5], [6]. Говорят также об "эргодичности в нуле", см. [1]). Средние могут пониматься в различных смыслах, аналогично тому, как это делается в теории суммирования рядов. Чаще всего используются средние Чезаро или средние Абеля или Условия эргодич.

Теорем заведомо обеспечивают сходимость подобных бесконечных рядов или интегралов. При этом, хотя абелевы средние образуются с участием всех А n или At, главную роль играют значения А n или At на конечном отрезке времени, неограниченно возрастающем при . Предел средних и т. Д.) тоже может пониматься в различных смыслах - в сильной или слабой операторной топологии (статистические эргодические теоремы, т. Е. Неймана теорема эргодическая - исторически первая О. Э. Т.- и ее обобщения), в равномерной операторной топологии (равномерные эргодические теоремы, см. [1], [2], [3]), а если Ереализовано как нек-рое пространство функций на нек-ром пространстве с мерой, то и в смысле сходимости почти всюду средних и т.

П. При (индивидуальные эргодические теоремы, т. Е. Биркгофа эргодическая теорема и ее обобщения, см., напр., Орнстейна-Чекона эргодическая теорема;их, впрочем, не всегда относят к О. Э. Т.). Нек-рые из О. Э. Т. Как бы сравнивают силу различных упомянутых выше вариантов, устанавливая, что из существования пределов средних в одном смысле следует существование пределов в другом смысле. В нек-рых теоремах речь идет не о пределе средних, а о пределе отношения двух средних (такова теорема Орнстейна - Чекона). Имеются также О. Э. Т. Для n-параметрических и даже более общих полугрупп. Лит.:[1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. С англ., М., 1962. [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер.

С англ., М., 1962. [3] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. С франц., М., 1969. [4] В е р ш и к А. М., Ю з в и н-с к и и С. А., в кн. Итоги науки, в. 15 - Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 133-87. [5] Каток А. Б., Синай Я. Г., С т е п и н А. М., в кн. Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129-262. [Ц] КrеngеI U., "Asterisque", 1977, t. 50, p. 151-'92. Д. В. Аносоа.