Орбитальная Устойчивость

свойство траектории x (решения х(t)) автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоящее в следующем. Для всякого e>0 существует d>0 такое, что всякая положительная полутраектория, начинающаяся в d-окрестности траектории x, содержится в e-окрестности траектории x. Здесь под траекторией понимается множество значений решения x(t),, системы (*), а под положительной полутраекторией - множество значений решения x(t).при . Если решение x(t).устойчиво по Ляпунову, то его траектория орбитально устойчива. Траектория x наз. Асимптотически орбитально устойчивой, если она орбитально устойчива и, кроме того, найдется d0>0 такое, что траектория всякого решения x(t).системы (*), начинающегося в d0 -окрестности траектории x (т.

Е. D(x(0), x)<d0), стремится при к траектории x, то есть где - расстояние от точки хдо множества x (d(x, у) - расстояние между точками хи у). Роль понятия асимптотической орбитальной устойчивости основана на следующих фактах. Периодич. Решение системы (*) никогда не бывает асимптотически устойчивым. Но если у периодич. Решения такой системы модули всех мультипликаторов, кроме одного, меньше единицы, то траектория этого периодич. Решения асимптотически орбитально устойчива (Андронова - Витта теорема). Имеет место также более общая теорема Демидов и ча (см. [3]). Пусть x0(t) - ограниченное решение системы (*), причем и пусть система уравнений в вариациях вдоль x0(t).- правильная (см. Правильная линейная система), причем все ее Ляпунова характеристические показатели, кроме одного, отрицательны.

Тогда траектория решения x0(t).асимптотически орбитально устойчива. Лит. [1] Андронов А. А., Собр. Трудов, М., 1956. [2] Андропов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959. [3] Демидович Б. П., "Дифференц. Уравнения", 1968, т. 4, № 4, с. 575-88. № 8, с. 1359-73. В. М. Миллионщиков.