Пересечения Индекс

- гомологический инвариант, характеризующий алгебраическое (т. Е. Учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух подмножеств дополнительных размерностей в евклидовом пространстве или ориентированном многообразии (находящихся в общем положении). В случае неориентируемого многообразия в качестве кольца коэффициентов R для гомологии рассматривается . Пусть - такие пары подмножеств евклидова пространства , что , и пусть - отображение, для к-рого d(x,у)=х-у. Индексом пересечения xoh классов гомологии , наз. Элемент . Здесь d* - индуцированное отображение гомологии, а - внешнее гомологич. Произведение элементов xи h. П. И. зависит лишь от тех частей классов x и т), носители к-рых попадают в произвольно малую окрестность Vзамыкания множества .

В частности, , если . Кроме того, если V, при , то определены соответствующие каждому открытому множеству Vi локальные П. И. X и h), сумма к-рых совпадает с . Инвариант не меняется при гомеоморфизмах . Вместе с предшествующим свойством локальности это позволяет определить П. И. для компактных подмножеств ориентированного многообразия. Имеет место следующее соотношение антикоммутативности. Если Xи Y- векторные подпространства общего положения, а x и h - образующие , то - образующая . Так как выбор указанных образующих равносилен выбору ориентации в соответствующих евклидовых пространствах, это дает возможность определить П. И. двух цепей дополнительных размерностей (в том числе сингулярных), для к-рых (|с| - носитель, а дс - граница цепи с).

При этом для определяемых цепями с, с' классов гомологии , П. И. Применяется для описания нек-рых соотношений двойственности в многообразиях. Лит.:[1] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. С англ., М., 1076. Е. Г. Скляренко.