Перманент

(mxn)-матрицы А =|| а ij|| - функция где aij - элементы из коммутативного кольца, суммирование производится по всем взаимно однозначным отображениям s из {1, 2, . ., т}в {1, 2, . ., п}. Если m=n, то s - всевозможные подстановки, и П. Представляет собой частный случай матричной функции Шура при где - характер степени 1 на подгруппе Нсимметрической группы Sn (при H=Sn, , в зависимости от четности s, получается определитель). П. Применяется в линейной алгебре, теории вероятностей и комбинаторике. В комбинаторике П. Можно интерпретировать следующим образом. Число систем различных представителей для заданного семейства подмножеств конечного множества есть П. Матрицы инцидентности для инцидентности системы, связанной с этим семейством.

Наибольший интерес представляют П. Матриц из нулей и единиц ((0,1)-матриц), матриц с неотрицательными действительными элементами, в частности дважды стохастических матриц (у к-рых суммы элементов по любой строке и любому столбцу равны 1) и комплексных эрмитовых матриц. Из основных свойств П. Следует отметить теорему о разложении (аналог теоремы Лапласа для определителей) и теорему Вине - Коши, дающую представление П. Произведения двух матриц через сумму произведений П., образованных из сомножителей. Для П. Комплексных матриц полезно представление их в виде скалярного произведения на классах симметрии вполне симметричных тензоров (см., напр., [3]). Один из наиболее эффективных способов вычисления П. Дает формула Райзера.

где А k - совокупность подматриц размера квадратной матрицы А, ri=ri (Х).- сумма элементов в i-й строке X, i, k=1, . ., т. Ввиду сложности вычисления П. Важны его оценки. Ниже приведены нек-рые из оценок снизу. а) Если Аесть (0, 1)-матрица с т, то при если t<т и per А>0. б) Если Аесть (0, 1)-матрица порядка п, то где - суммы элементов в строках А, расположенные в порядке невозрастания, = в) Если А - положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка n, то где , если Оценки П. Сверху. 1) для (0, 1)-матрицы порядка п 2) для вполне неразложимой матрицы порядка п с неотрицательными целыми элементами 3) для комплексной нормальной матрицы с собственными значениями l1,.

, ln Наиболее известной проблемой в теории П. Являлась гипотеза Ван дер Вардена. П. Дважды етохастич. Матрицы порядка пограничен снизу величиной n!/nn, и это значение достигается лишь для матрицы, составленной из дробей 1/n. Положительное решение этой проблемы было получено в 1980 (см. [4]). Из применений П. Следует отметить связь с известными комбинаторными задачами о встречах, об исполнителях, с Фибоначчи числами, с перечислением латинских квадратов и троек Штейнера, с нахождением числа 1-факторов и линейных подграфов в графе;дважды етохастич. Матрицы связаны с нек-рыми вероятностными моделями. Интересны физич. Применения П., среди к-рых наиболее важна проблема ди-меров, возникающая при изучении адсорбции двухатомных молекул поверхностного слоя.

Через П. (0, 1) -матрицы простого строения выражается число способов объединения атомов вещества в двухатомные молекулы. Известны также применения П. В статистич. Физике, теории кристаллов, физич. Химии. Лит.:[1] Райзер Г. Д ж., Комбинаторная математика, пер. С англ., М., 1966. [2] Сачков В. Н., Комбинаторные методы дискретной математики, М., 1977. [3] Минк X., Перманенты, пер. С англ., М., 1982. [4] Егорычев Г. П., Решение проблемы Ван дер Вардена для перманентов, Красноярск, 1980. [5] Фаликман Д. И., "Матем. Заметки", 1981, т. 29, в. 6, с. 931-38. В. Е. Тараканов.