Пикара Теорема

- 1) П. Т. О поведении аналитической функции f(z) комплексного переменного zв окрестности существенно особой точки а - название результата классич. Теории функций, явившегося отправным пунктом многочисленных глубоких исследований и состоящего из двух частей. А) Малая теорема Пикара. Всякая целая функция const принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного. Б) Большая теорема Пикара. Всякая однозначная аналитич. Ция f(z) в произвольной окрестности изолированной существенно особой точки а принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного. Впервые эта теорема опубликована Э. Пикаром [1], [2]. Она существенно дополняет Сохоцкого теорему. Малая П. Т. Есть следствие большой П.

Т. Из большой П. Т. Непосредственно следует, что любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного, принимается в произвольной окрестности существенно особой точки бесконечно часто. Для мероморфной функции в конечной плоскости П. Т. Принимает вид. Если точка - существенно особая для мероморфной в функции F(z), то в произвольной окрестности точки афункция F(z). Принимает любое комплексное значение из расширенной комплексной плоскости , за исключением, быть может, двух, и притом бесконечно часто. Как показывают примеры целой функции и мероморфной функции все эти утверждения точные. Фигурирующие в П. Т. Исключительные значений наз. Пикаровскими исключительными значениями. П. Т. Существенно дополняется Иверсена теоремой к Жюлиа теоремой, к-рые показывают соответственно, что пикаровские исключительные значения являются асимптотическими значениями и что существуют лучи Жюлиа L, исходящие из существенно особой точки аи такие, что неисключительные значения принимаются бесконечно часто даже в любом сколь угодно малом секторе с вершиной аи осью симметрии L.

Для современных исследований, связанных с П. Т., характерны следующие два направления. Пусть Е - множество существенно особых точек мероморфной функции F(z), то есть F(z) - мероморфная функция в нек-рой окрестности любой точки , и предельное множество С(z0. F).функции F(z).в точке не сводится к одному значению. Пусть ,- множество тех значений , к-рые в любой окрестности точки апринимаются бесконечно часто. Тогда П. Т. Утверждает, что если а - изолированная точка Е, то дополнение обладает свойством Пикара, т. Е. Состоит не более чем ив двух точек. В. В. Голубев в 1916 установил, что если емкость множества Еравна нулю, cap E=0, то CR(a. F).имеет емкость нуль для всех . Вопрос о том, каковы минимальные условия на Е, чтобы множество CR(a.

F).для всех обладало свойством Пикара, пока (1983) полностью не решен. Примеры показывают, что, с одной стороны, условие capE=0 не является достаточным, а с другой - что имеется множество Е,capE>0, вне к-рого не существует мероморфных трансцендентных функций, выпускающих четыре значения (см. [4], [5], [8]). Второе направление связано с обобщениями П. Т. Для аналитич. Ций f(z).многих комплексных переменных . При n=1 П. Т. Можно формулировать и так. Любое толоморфное отображение , выпускающее по крайней мере две точки, постоянно. Однако в 1922 П. Фату (P. Fatou) построил пример невырожденного голоморфного (и даже биголоморфного) отображения , для к-рого множество исключительных значений содержит непустое открытое множество.

Это означает, что П. Т. (и даже теорему Сохоцкого) непосредственно нельзя распространить па случай n>1. Обобщения П. Т. Все же возможны, если отправляться, напр., от другой ее формулировки, несколько искусственной при n=1. Любое голоморфное отображение в комплексную проективную плоскость , выпускающее по крайней мере три гиперплоскости (т. Е. Точки при n=1), постоянно. Верна, в частности, такая теорема Грина. Любое голоморфное отображение , выпускающее по крайней мере 2n+1 гиперплоскостей в общем положении, постоянно (см. [3], [6], [8]. 2) П. Т. Об униформизации алгебраических кривых. Если алгебраич. Кривая Ф(z, w)=0 имеет род g>l, то не существует ни одной пары мероморфных функций таких, что . Иными словами, униформизация алгебраич.

Кривых рода g>1 при помощи мероморфных функций невозможна. Напротив, в случае g=l униформизация всегда осуществима при помощи (мероморфных) эллиптич. Функций. Установлена Э. Пикаром [7]. Лит.:[1] Р i с а r d Е., "С. Г. Acad. Sci.", 1879, t. 88, p. 1024- 1027. T. 89, p. 662-65. [2] e г о же, "Ann. Ecole norm, super.", 1880, t. 9, p. 145-66. [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. [4] К о л л и н г в у д Э., Л о в а т е р А., Теория предельных множеств, пер. С англ., М., 1971. [5] Л о в а т е р А., в кн. Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259. [6] Г р и ф ф и т с Ф., Кинг Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. С англ., М., 1976. [7] Р i с а r d Е., "Acta math.", 18S7-88, v.

11, p. 1 - 12. [8] Ш а б а т Б. В., Распределение значений голоморфных отображений, М., 1982. Е. Д. Соломенцев.