Плотность Вероятности

плотность распределения вероятностей,- производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере. Пусть X - случайный вектор, принимающий значения в re-мерном евклидовом пространстве , Р( х г, . ., х п).- его функция распределения и пусть существует неотрицательная функция f(xlt . ., х п). Такая, что для любых действительных ij, . ., х п. Тогда/(ij, . ., х п).наз. Плотностью вероятности случайного вектора Xи для любого борелевского множества Любая неотрицательная интегрируемая функция i(x:, . ., х п), удовлетворяющая условию является П. В. Нек-рого случайного вектора. Если случайные векторы Xи У, принимающие значения в , независимы и имеют П. В. }( х г, . ., хД).и g(xl,.

., х п).соответственно, то случайный вектор X--Y имеет П. В. H(x1, . ., xrt), к-рая является рверт-кой функций fug. Пусть Х=(X1, . ., Х п).и Y=(Y1, . ., Y т) - случайные векторы, принимающие значения в и и имеющие П. В. F(x1, . .., х п).и g(y1 ,. ., у т).соответственно, и пусть Z=( Х 1, . ., Х n, Y1,. ., Ym) - случайный вектор в Rn+m. Тогда если Xи У независимы, то Z имеет П. В. H(t1, . .., tn+m), наз. Совместной плотностью распределения вероятностей случайных векторов Xи Y, причем (1) И обратно, если Zимеет П. В., удовлетворяющую соотношению (1), то Xи Y независимы. Характеристич. Функция j(t1, . ., tn) случайного вектора X, имеющего П. В. F(x1,. ., х т), выражается формулой причем если j(t1, . ., tn).абсолютно интегрируема, то f(x1, .

., х п).является ограниченной непрерывной функцией и П. В. F(x1, . ., х п).и соответствующая характеристич. Функция j(t1, . ., tn).связаны также следующим соотношением (тождество Планшeреля). Функция f2(x1,. ., х п).интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема функция |j(t1, . ., tn)|2, и в этом случае Пусть , - измеримое пространство, v и m суть s-конечные меры на , причем v абсолютно непрерывна относительно m, т. Е. Из равенства m(A)=0 следует равенство . В этом случае на существует неотрицательная измеримая функция f такая, что для любого . Функция f наз. Производной Радона - Никодима меры v по мере m, а в случае, когда v - вероятностная мера, также П. В. V по отношению к m. Спонятием П.

В. Тесно связано понятие доминирова иного семейства распределений. Семейство вероятностных распределений на измеримом пространстве наз. Доминированным, если на существует s-конечная мера mтакая, что каждая вероятностная мера из имеет П. В. По отношению к m (или, что то же самое, каждая мера из абсолютно непрерывна относительно m). Предположение о доминированности является существенным в нек-рых теоремах математич. Статистики. Лит. [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2-изд., М., 1973. [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и се приложения, пер. С англ., 2 изд., т. 2, М., 1967. [3] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. С англ., 2 изд., М., 1979. Н. Г. Ушаков.