Прямое Произведение

- одна из основных общематематич. Конструкций, идея к-рой принадлежит Декарту. Поэтому П. П. Наз. Также декартовым произведением. П. П., или просто произведением, двух непустых множеств X и Y наз. Множество , состоящее из всех упорядоченных пар вида ( х, у), где Если одно из множеств Xили Y пусто, то произведение пусто. Множество можно отождествить с множеством функций, определенных на двухэлементном множестве {1, 2} и принимающих значения в множестве Xпри значении аргумента, равном 1, и в множестве Yпри значении аргумента, равном 2. Это отождествление позволяет распространить определение П. П. На случай любого количества множителей. Пусть I - нек-рое множество индексов и пусть Xi - произвольное семейство множеств, заиндексированных элементами множества I.

П. П. Семейства множеств наз. Множество таких функций , где , что для каждого . Обычно П. П. Обозначается . Для конечного множества индексов I= {1, ..., п}используются также обозначения или . Если I состоит из одного элемента 1, то . Иногда П. П. Конечного числа множителей определяется индуктивно. Значение конструкции П. П. Определяется прежде всего тем, что в нем естественно вводится дополнительная структура, если все множители являются однотипными математич. Структурами. Напр., пусть Xi, ,- однотипные алгебраич. Системы, т. Е. Множества с общей сигнатурой конечноместных предикатов и операций. Тогда произведение превращается в алгебраич. Систему с той же сигнатурой. Для функций и n-арной операции w действие функции f1. ..fnw на элемент iопределяется равенством значение предиката Р(f1, .

., fn) истинно, если для любого истинно значение P(f1(i), . ., fn(i)). При этом выполнение во всех Xi определенных тождеств влечет за собой их выполнение в произведении. Поэтому П. П. Полугрупп, групп, колец, векторных пространств и т. П. Снова являются полугруппами, группами, кольцами, векторными пространствами соответственно. Для любого множителя П. П. Существует естественная проекция , определяемая равенством fpi=f(i). Множество Xи семейство проекций , обладают следующим универсальным свойством. Для любого семейства отображений существует такое однозначно определенное отображение , что gi=hpi для каждого . Это свойство сохраняется в случае, когда все Xi - однотипные алгебраич. Системы, и позволяет определить подходящую топологич.

Структуру П. П. Топологич. Пространств. Сформулированное свойство лежит в основе определения произведения объектов категории. Многие задачи математики связаны с описанием математич. Объектов, неразложимых в П. П., и с выяснением условий, при к-рых множители произведения определены однозначно с точностью до изоморфизма. Классич. Результатами здесь являются теорема о строении конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов и теорема Ремака - Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп с главным рядом. П. П. Иногда наз. Полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые подпространства и т.

П.). Как правило, П. П. Конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением. М. Ш. Цаленко.