Равномерное Распределение

общее название Класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи "равновозможности исходов" на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению Р. Р. Появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное - в других. Р. Р. На отрезке числовой прямой (прямоугольное распределение). Р. Р. На каком-либо отрезке [ а, b], а<b, - это распределений вероятностей, имеющее плотность Понятие Р. Р. На [ а, b] соответствует представлению о случайном выборе точки на этом отрезке "наудачу". Математич. Ожидание и дисперсия Р. Р. Равны, соответственно, (b+a)/2 и (b-а)2/12. Функция распределения задается формулой а характеристич. Функция - формулой Случайную величину с Р.

Р. На [0,1] можно построить, исходя из последовательности независимых случайных величин Х 1, Х 2, . ., принимающих значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 полагая ( Х n являются цифрами в двоичном разложении X). Случайное число Xимеет Р. Р. На отрезке [0,1]. Этот факт имеет важные статистич. Приложения, см., напр., Случайные и псевдослучайные числа. Если независимые случайные величины Х 1 и Х 2 имеют Р. Р. На [0,1], то их сумма Х 1+Х 2 имеет так наз. Треугольное распределение на [0,2] с плотностью u2 (х)=1 -|1-х | для и u2(x)=0 для . Сумма трех независимых случайных величин с Р. Р. На [0,1] имеет распределение на [0,3] с плотностью В общем случае сумма X1+X2+. +Х n независимых величин с Р. Р. На [0,1] распределена с плотностью для и и п (х)=0 для .

Здесь Распределение суммы нормированной математич. Ожиданием n/2 и среднеквадратич. Отклонением , с ростом пбыстро сближается с нормальным распределением с параметрами 0 и 1 (уже при n=3 приближение удовлетворительно для многих практич. Целей). В статистич. Приложениях процедура построения случайной величины с заданной функцией распределения F(х).основана на следующем факте. Пусть случайная величина Yраспределена равномерно на [0,1] и функция распределения F(х).непрерывна и строго возрастает. Тогда случайная величина имеет функцию распределения F(х).(в общем случае надо заменить в определении Xфункцию F-1 (у).на нек-рый ее аналог, а именно ). P.p. На отрезке как предельное распределение. Ниже приводятся типичные примеры возникновения Р.

Р. На [0,1] в качестве предельного. 1) Пусть X1, X2, . ., Х n,. - независимые случайные величины, имеющие одну и ту же непрерывную функцию распределения. Тогда распределение их суммы Sn, приведенной по mod 1, т. Е., иными словами, распределение дробной части {Sn} суммы Sn, сходится к равномерному на [0, 1] распределению. 2) Пусть параметры и имеют абсолютно непрерывное совместное распределение. Тогда при распределение сходится к равномерному на [0,1]. 3) Р. Р. Встречается как предельное распределение дробных долей нек-рых функций g(n) натурального аргумента п. Напр., при иррациональном a. Доля тех , из пдля к-рых имеет пределом при величину b-а. Р. Р. На под множествах . Пример Р. Р. В прямоугольнике встречается уже в Бюффона задаче (см.

Также Геометрические вероятности, Стохастическая геометрия]. Р. Р. На нек-ром ограниченном множестве Dв евклидовом пространстве определяется как распределение, имеющее плотность где Собратна k-мерному объему (или лебеговой мере) области D. Рассматривают также и Р. Р. На поверхностях. Так, "случайное направление" (напр., в ) определяют вектором, идущим из начала координат в случайную точку поверхиости единичной сферы, равномерно распределенную в том смысле, что вероятность ее попадания в какую-либо часть поверхности пропорциональна площади этой части. Роль Р. Р. На алгебраич. Группах играет нормированная Хаара мера. Лит.:[1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., 2 изд., т.

2, М., 1967. А. В. Прохоров.