Штурма - Лиувилля Оператор

самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением и подходящими граничными условиями в гильбертовом пространстве L2( а, b), где ( а, b) - конечный или бесконечный интервал, р', р, q- непрерывные действительные функции и р(х)>0 при всех (иногда так называют любой оператор, порожденный квазидифференциальным выражением вида l).Начиная с 1830 Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Диувилль (J. Liouville) опубликовали ряд фундаментальных исследований по теории Штурма - Лиувчлля задачи на конечном интервале. Точка а наз. Регулярным концом, если . Конечно, и В противном случае эта точка наз. Сингулярным концом. Выражение lназ. Регулярным или сингулярным в зависимости от того, являются ли оба конца интервала ( а, b )регулярными или нет.

Пусть D1 - множество функций таких, что f' - абсолютно непрерывна и - подмножество D1, состоящее из финитных функций. Пусть, далее, и L0 - замыкание оператора оператор L0 является симметрич. Оператором и L0=L1. Ш.- Л. О. Является расширением (сужением) оператора L(L1). I. Пусть lрегулярен, векторы линейно независимы и Тогда множество всех функций удовлетворяющих условиям i = l, 2, есть область определения нек-рого III.- Л. О. Обратно, область определения всякого Ш.- Л. О. Можно найти этим способом. Среди граничных условий важное место занимают разделенные граничные условия (или граничные условия типа Штурма). и смешанные граничные условия. где В частности, если р(a)=р(b), то в случае условия (5) наз. Периодическими, а в случае - антипериодическими (или полупериодическими).

II. Пусть l сингулярен. Случай, когда оба конца (а, b)сингулярны, приводится к случаю с одним сингулярным концом методом расщепления. III. Пусть конец арегулярен, а . Сингулярен и пусть число независимых решений уравнения принадлежащих L2(a, b), равно 1. Тогда говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельной точки Войля в точке b. Область определения Ш.- Л. О. Задается граничным условием (3). II2. Если число линейно независимых решений уравнения l[f] = if принадлежащих L.2(a, b), равно 2, то говорят, что выражение lпринадлежит случаю предельного круга Вейля в точке 6. Оператор L0 в этом случае имеет индексы дефекта (2,2). Область определения Ш.- Л. О. Описывается аналогично I, заменяя условия (2) следующим образом. Р(b) следует заменить на p(а), f(b) и f'(b)соответственно на (Sf)1(b) и (Sf)2(b), где здесь - вронскиан функций и в точке х, и i, i =1,2,- решения уравнения l [f]=0 с начальными условиями - символ Кронекера.

Ядром резольвенты Ш.- Л. О. Является Карлемана ядро, причем и случаях I и II2 резольвента является Гильберта - Шмидта интегральным оператором, а в случае II1 таковым может быть или не быть. Спектральное разложение Ш.- Л. О. В случае дискретности спектра (напр., в случаях I и II2) аналогично разложению в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля, а н остальных случаях содержит собственные функции, не принадлежащие L2(a, b). Большой интерес представляют задачи отыскания условий на коэффициенты ри q, при к-рых спектр III.- Л. О. Дискретен, заполняет всю ось, выражение lпринадлежит случаю предельной точки или предельного круга. Достаточно общие необходимые и достаточные условия на р и q, обеспечивающие принадлежность .

К случаю предельного круга или предельной точки (b = неизвестны (1984). Лит.:[1] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969. [2] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд., т. 2, Харьков, 1978. [3] Левитан Б. М., Саргсян И. С., Введение в спектральную теорию, М., 1970. [4] Марченко В. А., Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. К., 1977. [5] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер с англ., М., 1958. [6] Глазман И. М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, М., 1963. [7] Нutsоn V., Руm .Т., Applications of functional analysis and operators theory, L - N.

У., 1980. [8] Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. С англ., т. 1, М., 1960. [9] Мирзоев Г. А., лМатем. Заметки.