Аналитическая геометрия

раздел геометрии. Основными понятиями А. Г. Являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. Г. Служат метод координат (см. Ниже) и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. Г. Было сделано P. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка А. Г. Связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами А. Г. Пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии.

Ныне А. Г. Не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. Наук. Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости π две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу (рис. 1). Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей е образуют т. Н. Декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть Mx и My — проекции М на Ox. И Оу, а числа х и y — величины отрезков OMx и ОМу (величина х отрезка OMx, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к Mx совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае).

Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х,у). Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху. Пусть на плоскости π с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(x,y) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O, то уравнение x2+ y2 — R2 = 0 будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис.

2. Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMMx получается x2 + y2 — R2 = 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x2 + y2 — R2 ≠ 0. Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её уравнение F(x,y) = 0 относительно системы координат Оху. Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x,y) = 0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В (рис. 3). Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В.

Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Т. О., уравнение прямой В имеет вид x — a = 0. Координаты (x, y) точки пересечения окружности С (ур-ние которой имеет вид x2 + y2 — R2 = 0) и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям x2 + y2 - R2 = 0, х - а = 0, (1) то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± R2 — a2. Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R2 > a2) (этот случай изображен на рис. 3), могут иметь одну общую точку (R2 = a2) (в этом случае прямая В касается окружности C) и не иметь общих точек (R2 < a2) (в этом случае прямая В лежит вне окружности C).

В А. Г. На плоскости подробно изучаются геометрические свойства Эллипса, гиперболы (См. Гипербола) и параболы (См. Парабола), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения). Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. В инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок. В А. Г. На плоскости систематически исследуются т.

Н. Алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов.

Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе — гиперболу, третье — параболу, а последние два — пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся). В А. Г. В пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты .x, у и z (абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F (x, y, z) =0 относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 + z2 — R2 = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности.

Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S1. Если F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 — уравнения S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Т. О., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. Г. В пространстве систематически исследуются т. Н. Алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости.

Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида. Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0. Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются Эллипсоиды, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический Параболоиды. Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения. Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле.

Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. Н. Эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов. Лит. Декарт Р., Геометрия, [пер. С франц.], М.—Л., 1938. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. С нем., 2 изд., М., 1966. Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967. Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968. Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964. Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967. Э. Г. Позняк.

Рисунки 1, 2, 3 к ст. Аналитическая геометрия. Рис. 4. К ст. Аналитическая геометрия..