Непрерывная дробь

цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. Д. Есть выражение вида где a0 — любое целое число, a1, a2,..., an,. — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. Д. К Н. Д., изображающей некоторое число α, можно прийти, записывая это число в виде где a0 — целое число и 0 < 1/α1 < 1, затем, записывая в таком же виде α1 и т. Д. Число элементов Н. Д. Может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого Н. Д. Называют конечной или бесконечной. Н. Д. (1) часто символически обозначают так. [а0. A1, a2,..., an,...] (бесконечная Н. Д.) (2) или [а0. А1, a2,..., an] (конечная Н. Д.). (3) Конечная Н. Д. Всегда представляет собой рациональное число. Обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н.

Д. (3). Такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ≠ 1. Н. Д. [а0. A1, a2,..., ak] (k ≤ n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. Д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами. Pk+1 = ak+1pk + pk-1, qk+1 = ak+1qk + qk-1, которые служат основанием всей теории Н. Д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение pkqk-1 — qkpk-1 = ± 1. Для каждой бесконечной Н. Д. Существует предел называемый значением данной Н. Д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. Д., получаемой разложением α указанным выше образом, например (е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...]. квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н.

Д. Основное значение Н. Д. Для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа α, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |nα — m| > |gkα — pkl. При этом |qk. — pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше α, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают. Н. Д. Используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа π (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения π в Н. Д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и π было дано в 1766 немецким математиком И.

Ламбертом с помощью Н. Д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал. Для любого алгебраического числа (См. Алгебраическое число) α степени n можно найти такую постоянную λ, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |α — x/y| > λ/уn. С помощью Н. Д. Можно построить числа α такие, что разность |α — pk/qk| делается меньше α/gk, какую бы постоянную λ мы ни взяли. Так, используя Н. Д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. Д. Является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий. Например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения. Н. Д. Встречаются уже в 16 в. У Р. Бомбелли. В 17 в. Н. Д. Изучал Дж.

Валлис. Ряд важных свойств Н. Д. Открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. Д. Л. Эйлер в 18 в. В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. Применили Н. Д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов (См. Ортогональные многочлены). Лит. Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. — Л., 1946. Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949. Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. С лат., т. 1, М. — Л., 1936. Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. С франц., Хар. — К., 1936. Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929. Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.