Преобразование
одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и том же отношении, увеличивать радиусы кругов на одну и ту же величину, вообще сопоставлять фигурам какого-либо класса другие, получаемые из них по определённым правилам. При решении дифференциальных уравнений операционными методами (см. Операционное исчисление) заменяют данные функции другими, преобразованными функциями, и т.д. Такие соответствия и называются П. Точнее, преобразованием называется соответствие, в силу которого каждому элементу х некоторого множества Х сопоставляется вполне определённый элемент у некоторого другого множества Y.
Логически понятие П. Совпадает с понятиями Функция, Отображение, Оператор. Термин «П.» чаще употребляют в геометрии и функциональном анализе, при этом обычно считают соответствие между х и у = f (x) взаимно однозначным. Геометрические преобразования. В геометрии чаще всего рассматриваются точечные П., при которых каждой точке некоторого многообразия (См. Многообразие) (линии, поверхности, пространства) ставится в соответствие другая точка того же многообразия. Иными словами, точечное П. Является отображением многообразия на себя. При точечном П. Каждая фигура (прообраз), рассматриваемая как совокупность точек, преобразуется в новую фигуру, называемую образом первоначальной. Если точечное П. Взаимно однозначно, то можно определить обратное П.
(см. Отображение). Точечное П. Называется тождественным, если при нём образ каждой точки совпадает с прообразом. Если ограничиться для определённости точечными П. Плоскости, то такие П. Могут быть заданы аналитически формулами. X' = f (х, у), y' = φq (х, у), где х, у — координаты прообраза, а x’, y' — координаты образа в одной и той же системе координат. Многие важные классы точечных П. Образуют группу (См. Группа), т. Е. Вместе с любыми двумя П. Содержат их произведение (результат последовательного применения), а вместе с каждым П. Содержат обратное П. Наиболее важные примеры групп точечных П. Плоскости таковы. 1) группа вращений плоскости вокруг начала координат. X' = х cosα — у sinα, y' = х sinα + у cosα, где α — угол поворота.
2) Группа параллельных переносов, при которых все точки смещаются на один и тот же вектор ai + bj. X' = х + а, y' = у + b. 3) Группа движений, состоящая из П., не изменяющих расстояния между точками и ориентации плоскости. X' = х cosα — у sinα + a1, y' = х sinα + у cosα + b1. См. Также Движение в геометрии. 4) Группа движений и зеркальных отражений, состоящая из П., не изменяющих расстояния между точками плоскости. Совокупность движений и зеркальных отражений, совмещающих некоторую фигуру с собой, называется группой симметрии этой фигуры. Эта группа определяет свойства симметрии фигуры. Например, группа симметрии правильного тетраэдра состоит из 4. = 24 П., переставляющих между собой его вершины. 5) Группа П. Подобия, порождаемая П.
Движения, зеркального отражения и гомотетии (См. Гомотетия). 6) Группа аффинных П., состоящая из взаимно однозначных отображений плоскости на себя, при которых прямые переходят в прямые.
Дополнительный поиск Преобразование 
На нашем сайте Вы найдете значение "Преобразование" в словаре Большая Советская энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Преобразование, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "П". Общая длина 14 символа
