Автономная Система

обыкновенных дифференциальных уравнений - система обыкновенных дифференциальных уравнений, в к-рую не входит явно независимое переменное t(время). Общий вид А. С. 1-го порядка в нормальной форме. или, в векторной записи, Неавтономная система сводится к А. С., если ввести новую неизвестную функцию Исторически А. С. Возникли при описании физич. Процессов с конечным числом степеней свободы. А. С. Наз. Также динамическими, или консервативным и (см. Динамическая система). Комплексная А. С. Вида (1) эквивалентна вещественной А. С. С 2n неизвестными функциями Содержательная теория комплексных А. С., отличная от вещественного случая, имеет место в случае аналитических (см. Аналитическая теория дифференциальных уравнений).

Будем рассматривать А. С. С действительными коэффициентами и их действительные решения. Пусть - (произвольное) решение А. С. (1), - интервал его определения,- решение с начальными данными Пусть - область в и Точка наз. Положением равновесия (точкой покоя) А. С. (1), если Положению равновесия отвечает решение Локальные свойства решений. 1) Если - решение, то - решение при любом 2) Существование. При любых решение существует на нек-ром интервале 3) Гладкость. Если то 4) Зависимость от параметров. Пусть если (подробнее см. [1] - [4]). 5) Пусть не является положением равновесия, тогда существуют окрестности F, Wточек соответственно, и диффеоморфизм такие, что А. С. Имеет вид в W. Замена переменных в А.

С. (1) приводит к системе ( - Якоби матрица). Глобальные свойства решений. 1) Любое решение А. С. (1) можно продолжить на интервал . Если , то решение наз. Неограниченно продолжаемым. Если то решение наз. Неограниченно продолжаемым "в перед повремени" (аналогично - "назад"). Если то для любого компакта существует = такое, что точка находится вне при (аналогично при . См. Продолжаемость решений дифференциальных уравнений). 2) Продолжение единственно в том смысле, что любые два решения с общими начальными данными совпадают на общей области их определения. 3) Всякое решение А. С. Принадлежит к одному из трех типов. А) непериодическое, причем для любых ) периодическое, непостоянное. С) . Геометрическая интерпретация А.

С. Каждому решению ставится в соответствие кривая Г. лежащая в области G. Тогда Gназ. фазовым пространством А. С., Г - фазовой траекторией, решение интерпретируется как движение по фазовой траектории. Фазовым потоком наз. Отображение . по формуле (т. Е. Каждая точка сдвигается за время tвдоль фазовой траектории). На своей области определения фазовый поток удовлетворяет условиям. 1) непрерывно по 2) справедливо групповое свойство. Имеет место теорема Лиувилля. Пусть - область с конечным объемом, - объем области тогда Для гамильтоновой системы из (3) следует сохранение фазового объема фазовым потоком. Другой вариант равенства (3). Пусть - семейство решений А. С. (1), - область, тогд // .