Алгебраическая Геометрия Абстрактная

- раздел алгебраической геометрии, в к-ром изучаются общие свойства алгебраических многообразий над произвольными полями, а также их обобщения - схемы. Хотя первые работы в А. Г. А. Появились еще в 19 в., особенно бурное развитие этой области алгебраич. Геометрии происходило, начиная с 50-х гг. 20 в., и было связано с созданием А. Гротендиком (A. Grothendieck) общей теории схем. Интерес к алгебраич. Геометрии применительно к произвольным полям возник первоначально в связи с теоретико-числовыми задачами и, в частности, с теорией сравнений от двух неизвестных. Особенно существенным для развития А. Г. А. Было введенное Э. Артином (Е. Artin) в 1924 понятие дзета-функции алгебраич. Кривой (см. Дзета-функция в алгебраич. Геометрии), а также доказательство X.

Хассе(Н. Hasse) в 1933 аналога гипотезы Рима-на для эллиптических кривых. Развитая при этом теория алгебраических кривых над произвольным полем констант играла существенную роль в данном доказательстве. Почва для систематич. Построения многомерной алгебраич. Геометрии над произвольными полями констант была подготовлена общим развитием теории колец и полей в 10-20-х гг. 20 в. В цикле статей Б. Л. Ван дер Вардена (В. L. Van der Waerden, 1933-38) в основу А. Г. А. Была положена теория полиномиальных идеалов. В частности, им была построена пересечений теория на неособом проективном алгебраич. Многообразии. Результаты работ этого направления подытожены в [4]. В 1940 А. Вейль (A. Weil) обнаружил, что доказательство гипотезы Римана для алгебраич.

Кривых произвольного рода требует привлечения теории многомерных многообразий над произвольными полями. В связи с этим им была построена теория абстрактных алгебраич. Многообразий (не обязательно проективных) над произвольным основным полем, теория дивизоров и теория пересечений для таких многообразий, а также общая теория абелевых многообразий, ранее изучавшихся только в аналитич. Случае. Под влиянием книги [9], вышедшей в 1946, общепринятой основой А. Г. А. На долгое время стали теория нормировании и теория полей (язык "общих точек" Вейля). В нач. 50-х гг. В А. Г. А. Были введены мощные методы коммутативной алгебры (см. [6], [8]). Дальнейшей перестройке А. Г. А. Послужила работа Ж. П. Серра о когерентных алгебраических пучках[7].

В ней впервые в А. Г. А. Были изложены идеи и методы гомологической алгебры. Развитие А. Г. А. Шло параллельно с развитием понятия алгебраич. Многообразия. После определения А. Вейлем абстрактного алгебраич. Многообразия предлагались различные обобщения этого понятия. Самым плодотворным из них оказалось понятие схемы. Систематич. Изложение этих идей и построение общей теории схем было начато А. Гротендиком в 1960 в серии мемуаров [5], где введен в А. Г. А. Язык функторов и теории категорий и кардинально перестроены многие классич. Конструкции в алгебраич. Геометрии. Бурное развитие А. Г. А. Было связано с осознанием того, что рамки теории схем позволяют перенести на "абстрактный случай" практически все известные в классич. Комплексном случае понятия и, в частности, теорию когомологий комплексных аналитич.

Многообразий. Важную роль для развития А. Г. А. Сыграла гипотеза А. Вейля (1947), предположившего существование теории когомологий, в к-рой была бы верна Лефшеца формула для числа неподвижных точек отображения, и установившего глубокие связи этой гипотезы с чисто арифметич. Вопросами алгебраич, многообразий (см. Дзета-функция в алгебраической геометрии). Понятие топологизированной категории (топология Гротендика) нашло многочисленные применения, разработка и развитие к-рых положили начало новым направлениям А. Г. А.- теории представимых функто.-ров, формальной геометрии (см. Формальная группа), Вейля когомологиям, К-теории, теории групповых схем. Развитые при этом идеи и методы нашли свое отражение во многих разделах математики (коммутативная алгебра, теория категорий, теория аналитич.

Ространств, топология). Предложенное в конце 60-х гг. Новое обобщение алгебраич. Многообразия - алгебраическое пространство позволило расширить рамки А. Г. А. И еще теснее связать ее с другими разделами алгебраич. Геометрии. .