Векторное Поле

на многообразии M- сечение касательного расслоения . Множество В. П. Образует модуль над кольцом Fдифференцируемых функций на М. Пример 1. Для карты многообразия Мопределяется i-е базисное В. П. д/дxi по формуле есть i-й базисный касательный вектор к Мв точке р, и любое В. П. Однозначно представляется в виде наз. Компонентами В. П. Xв карте . В. П. Является дифференцированием кольца F, вследствие чего множество В. П. Образует относительно операции коммутирования (скобки Ли) алгебру Ли. Пример 2. Для карты и функция определяется формулой где - частная производная по наз. Производной от по направлению X. Пример 3. Для карты и коммутатор (скобка Ли) [X, Y]В. П. определяется формулой он удовлетворяет соотношениям.

в частности Каждое В. П. Xиндуцирует на Млокальный поток- семейство диффеоморфизмов окрестности U такое, что для и - интегральный путь В. П. X, т. Е. где - - В. П., касательное к отображению . И наоборот, В. П. Xассоциировано с локальным потоком - вариацией отображения . При этом Каждое В. П. Определяет дифференцирование Ли LX тензорного поля типа со значениями в векторном пространстве (инфинитезимальное преобразование ), соответствующее локальному потоку частными случаями к-рого являются действие В. П. На и скобка Ли В. П. Без особенностей порождает на Минтегрируемую одномерную дифференциальную систему и ассоциированную с ней Пфаффа систему. Обобщением понятия В. П. На многообразии является В.

П. Вдоль отображения - сечение расслоения , индуцированного , а также тензорное поле типа - сечение ассоциированного с при помощи функтора расслоения . Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. С франц., М., 1973. [2] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. С нем., М., 1971. [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. С англ., М., 1967. [4] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. С англ., М., I960. [5] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971. [6] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. С англ., М., 1964. А. Ф. Щекутьев.