Вогнутый И Выпуклый Операторы

нелинейные операторы в полуупорядоченных пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых функций действительного переменного. Нелинейный оператор А, положительный на конусе Кв банаховом пространстве, наз. Вогнутым (точнее, u0 - вогнутым на К), если. 1) для каждого ненулевого выполнены неравенства где - нек-рый фиксированный ненулевой элемент из - положительные скалярные функции. 2) для каждого такого что справедливы соотношения где Аналогично, оператор А паз. Выпуклым (точнее, и 0 -выпуклым на К), если выполнены условия 1) и 2), но неравенство (*) заменено противоположным, и функция Типичным примером является интегральный оператор Урысона вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной функции по переменному и.

Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь "слабые" нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут "медленно" при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит "сильные" нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий. Так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет. Напр., для них, как правило, неверна теорема о единственности положительного решения. Лит.:[1] Красносельский М. А., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975. М. И. Войцеховский.