Высота

в диофантовой геометрии - некоторая численная функция на множестве решений диофантова уравнения. В простейшем случае целочисленного решения диофантова уравнения высота есть функция решения, равная В таком виде она встречается уже в методе спуска Ферма. Пусть имеется проективное алгебраич. Многообразие X, определенное над глобальным полем К. Высота представляет собой класс действительнозначных функций , определенных на множестве рациональных точек Р, и зависящий от морфизма многообразия Xв проективное пространство Р n. Каждая функция из этого класса тоже наз. Высотой. Различие между функциями из этого класса с точки зрения оценки рациональных точек несущественно. Для любых двух функций существуют такие константы Такие функции наз.

Эквивалентными. Эта эквивалентность (здесь) обозначается . Основные свойства В. Функция функториальна по Р, т. Е. Для любого морфизма и морфизма Если морфизмы определяются обратимыми пучками то Множество точек , имеющих ограниченную В., конечно в следующем смысле. Если основное поле Кесть поле алгебраич. Чисел, то указанное множество конечно. Если же К - поле алгебраич. Функций с полем констант k, то элементы зависят от конечного числа параметров из поля kи, в частности, Кконечно, если поле kконечно. Пусть пробегает множество всех нормирований поля К. Тогда В. Точки проективного пространства с координатами из Кможет быть определена как Корректность определения следует из формулы произведения Пусть X - произвольное проективное многообразие над Ки L - замкнутое вложение многообразия Xв проективное пространство, В.

Можно получить, перенося функцию (*) с помощью этого вложения на множество Х(К). Различные проективные вложения, соответствующие одному и тому же пучку , определяют на X(К).эквивалентные функции. Распространение по линейности дает требуемую функцию . Иногда вместо функции используют ее логарифм - так наз. Логарифмич. Высоту. Приведенные выше оценки являются в нек-рых случаях следствием точных равенств (см. [3], [4], [5]). Существует вариант функции В.- высота Тейта - Нерона, к-рая определяется на абелевых многообразиях и ведет себя функториальным образом относительно мор-физмов абелевых многообразий, сохраняющих нулевую точку. Локальный аспект развит в [6]. Построенные там локальные компоненты В. Играют в арифметике роль индексов пересечения.

Лит.:[1] Вейль А., Теория чисел и алгебраическая геометрия, "Математика", 1958, т. 2, .№ 4. [2] Lang S., Diophantine geometry, N. Y.-L., 1962. [3] Манин Ю. И., Теорема Морделла - Вейля, в кн. Мамфорд Д., Абелевы многообразия, пер. С англ., М., 1971, с. 279-95. [4] Манин Ю. И., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1964, т. 28, с. 1363-90. [5] Mumford D., "Amer. J. Math.", 1965, v. 87, p. 1007-16. [6] Neron A., "Ann. Math.", 1965, v. 82, p. 249-331. A. Н. Паршин.