Геодезическая Кривизна

в точке кривой на поверхности - скорость вращения касательной к вокруг нормали к , т. Е. Проекция на вектора угловой скорости вращения касательной при движении вдоль . Предполагается, что и регулярны и ориентированы, скорость берется относительно длины вдоль . Г. К. Может быть определена как кривизна проекции на касательную плоскость к Fв рассматриваемой точке. Г. К. Равна где штрих означает дифференцирование по t. Г. К. Входит в выражение вариации длины при варьировании на . При закрепленных концах. - вектор вариации кривой. Кривые, на к-рых - геодезические линии. Интегральной Г. К., или поворотом кривой , наз. Интеграл Связь поворота замкнутого контура с интегральной кривизной охваченной им области на поверхности дает Гаусса - Бонне теорема.

Г. К. Принадлежит внутренней геометрии поверхности и допускает выражение через метрич. Тензор и производные внутренних координат поверхности по параметру tкривой. Если внутренняя геометрия ри-манова пространства изучается в отвлечении от возможных погружений, то Г. К. Остается единственной кривизной кривой и слово "геодезическая" опускается. При рассмотрении кривых в подмногообразии риманова пространства кривизна кривой может определяться во внешнем пространстве и в подмногообразии, подобно тому, как на поверхности кривая имеет обычную кривизну и Г. К. Можно ввести понятие Г. К. Для кривой у на общей выпуклой поверхности. Если кривая g. Имеет длину и каждая ее дуга имеет определенный поворот, то правой (левой) Г. К.

Кривой g. В точке x наз. Предел отношения правого (левого) поворота дуги кривой к ее длине, при условии, что дуга стягивается в точку х. В финслеровом пространстве определяют два понятия Г. К., различающиеся способом измерения длины вектора, заменяющего v. На геодезических эти Г. К. Равны нулю. Ю, C. Слобовян.