Дедекиндово Кольцо

- ассоциативное коммутативное кольцо Rс единицей, не содержащее делителей нуля (т. Е. Коммутативная область целостности), в к-ром каждый собственный идеал представим в виде произведения простых идеалов (идеал Ркольца R наз. Простым, если факторкольцо R/P не содержит делителей нуля). Свое название эти кольца получили по имени Р. Дедекинда (R. Dedekind), к-рый в числе первых изучал такие кольца в 70-х гг. 19 в. Каждая область главных идеалов является Д. К. Если Rесть Д. К., L - конечное алгебраич. Расширение его поля частных, то целое замыкание R' кольца R в L (т. Е. Совокупность элементов из L, являющихся корнями уравнений вида xn+a1xn-1+ . +an=0,) снова будет Д. К. В частности, дедекиндовыми являются кольцо целых алгебраич. Чисел и максимальные порядки полей алгебраич.

Чисел, т. Е, целые замыкания кольца целых чисел в конечных алгебраич. Расширениях поля рациональных чисел. В Д. К. Rкаждый собственный идеал обладает единственным представлением в виде произведения простых идеалов. Эта теорема возникла из задачи о разложении элементов на простые множители в максимальных порядках полой алгебраич. Чисел. Такое разложение, вообще говоря, не единственно. Кольцо R дедекиндово тогда и только тогда, когда полугруппа дробных идеалов этого кольца является группой. Каждый дробный идеал Д. К. R обладает единственным представлением в виде произведения степеней (положительных или отрицательных) простых идеалов кольца Л. Д. К. Обладает следующей характеризацией. Коммутативная область целостности является Д.

К. Тогда и только тогда, когда Л есть нётерово кольцо, каждый собственный простой идеал кольца Rмаксимален и Rцелозамкнуто, т. Е. Совпадает со своим целым замыканием в поле частных. Другими словами, Д. К. Есть нётерово нормальное кольцо размерности один по Круллю. Для Д. К. Rвыполняется так наз. "китайская теорема об остатка х". Для данного конечного набора идеалов Ii и элементов х;кольца R,i=1, 2, . ., га, система сравнений x=xi(mod Ii) имеет решение хОRтогда и только тогда, когда xi=xj(mod Ii+ + Ij )для i неравно j. Д. К. Rможно охарактеризовать также как Крулля кольцо размерности один. Каждое Д. К. Является регулярным коммутативным кольцом и все его локализации по максимальным идеалам есть дискретного нормирования кольцо. Полугруппа ненулевых идеалов Д.

К. R изоморфна полугруппе Р дивизоров этого кольца. Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. С англ., т. 1, М., 1963. [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. [3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 2 изд., 1972. [4] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. Л. А. Бокутъ..