Дирихле Характер

(mod k) - функция c(п)=c(п. K )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям. Иными словами, Д. Х. (mod k)- это арифметич. Функции, к-рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. Х. Ввел П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с изучением закона распредепения простых чисел в арифметич. Прогрессиях. Он же разработал основы теории Д. Х. (см. [2] - [8]), исходя из прямого конструктивного построения их. Пусть - канонич. Разложение k, п- целое взаимно простое с k,( п, k)=1. С=С 0=1, если a=0 или a=1. С=2. С 0=2a-2 если С 1=j(р 1a1)) . .,где j -функция Эйлера. Пусть, далее, g, g0,g1 . ., gr - система индексов числа ппо mod k, т. Е. Система наименьших неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих сравнениям где gj- наименьший первообразный корень по mod р jaj .

E, e0, e1, . .,er - система каких-либо корней из 1 соответственно порядков С, С 0, С 1, . ., С r. Функция определенная на множестве всех натуральных чисел, наз. Характером Дирихле (mod к). Перебирая все возможные значения e, e0, e1,. ., er получают различных функций c - Д. Х. Mod к. Характер с e=e0=e1=. .=er=1 наз. Главным характером. Он обозначается c0. Для любых натуральных чисел п, l и k. если c(п).- Д. Х. (mod k), то комплексно сопряженная функция c(п).- также Д. Х. (mod k). Наименьшее из чисел v, удовлетворяющее равенству cv(n)=c0(n) наз. Степенью Д. Х. Для v=l существует один такой характер c0. Если v=2, то х(п)может принимать лишь значения 1. 0. -1. Такие Д. Х. Наз. Действительными, или квадратичными. Если v>3, до Д. Х. Наз. Комплексным.

C( п) наз. Четным или нечетным соответственно тому, будет c(-1)=1 или х(-1)=-1- Главные свойства сумм Д. Х. Выражаются формулами где в 1-й формуле ппробегает полную систему вычетов (mod k), а cво 2-й формуле - все j(k) характеров (mod k). При (l, k)= 1 справедлива формула наз. Свойством ортогональности Д. Х. Она является одной из основных формул Д. Х., применяемых в разного рода исследованиях арифметич. Прогрессий. Kv+l,v=0, I, 2, . В теории и приложениях Д. Х. Важны также понятия ведущего модуля характера и примитивного характера. Пусть c(n. K) - произвольный неглавный характер (mod k). Если для значений п, удовлетворяющих условию (n, k)=i, число А. Является наименьшим периодом c(n. K), то кназ. Ведущим, или основным, модулем характера c, а сам характер c - примтивным, или первообразным, характером (mod k).

В противном случае существуют единственные число k1>1, делящее k, k1<k и примитивный характер c1 (mod k1 )такие, что В этом случае c(п. K )наз. Непримитивным, или производным, характером c(mod d)и говорят, что c1 индуцирует c. Тем самым многие вопросы о характерах сводятся к таковым для примитивных характеров. Характер c(п. K)является примитивным тогда и только тогда, когда для любого d, делящего k, d<k, существует ас условиями. В аналитич. Теории широко используются суммы Гаусса, определяемые для c(mod k)равенством Для примитивного характера cmod k. При этом справедливо разложение c(п)в виде. Одной из основных проблем в теории Д. Х. Является проблема оценки сумм Д. Х. C(mod k),c неравноc0. Имеет место оценка Виноградова.

Установлено [7], что k- простое число. При M=l, N-k/2 существует (см. [8]) бесконечная последовательность чисел к, являющихся модулями примитивного действительного характера c, для к-poй у- Эйлера постоянная. Это асимптотич. Равенство показывает, что предыдущие оценки, вообще говоря, существенно усилить нельзя. Однако существует гипотеза Виноградова, согласно к-рой для любого е>0, Доказательство этой гипотезы позволило бы решить ряд крупных проблем теории чисел. Теория Д. Х. Лежит в основе теории Дирихле L-функций и является частным случаем общей теории характеров абелевых групп. Лит.:[1] Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. С нем., М.-Л., 1936. [2] Виноградов И. М., Избр. Тр., М., 1952. [3] Карацуба А.

А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975. [4] Прах ар К., Распределение простых чисел, пер. С нем., М., 1967. [5] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М., 1947. [6] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. С англ., М., 1971. [7] Burgess D. А., "Тр. Матем. Ин-та", 1973, х. 132, с. 203-205. [8] Лаврик А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, № 6, с. 1189-207. А. Ф. Лаврик..