Дифференциально-геометрическая Структура

- одно из основных понятий современной дифференииальной геометрии, включающее конкретные изучаемые в ней структуры. Д.-г. С. Определяется для данного дифференцируемого многообразия М п как дифференцируемое сечение в расслоенном пространстве( Х F, pF, М n )с базой М п, ассоциированном с нек-рым главным расслоением (X, р, М п), или, в другой терминологии, как дифференцируемое поле нек-рого геометрич. Объема на М n. Здесь Fявляется нек-рым дифференцируемым -пространством, где (V - структурная группа Ли главного расслоения (X, р, М п), или, в другой терминологии, пространством представления группы Ли Если (X, р, М n).- главное расслоение реперов в касательных к М п пространствах, G- нек-рая замкнутая подгруппа в =GL(n, R), a F- однородное пространство то соответствующая Д.-г.

С. На М п наз. G-c труктурой, или инфинитезимальной структурой 1-го порядка. Напр., если Gсостоит из всех таких линейных преобразований (элементов из GL(n,R).), к-рые оставляют инвариантным m-мерное пространство в Rn, то соответствующая G-структура определяет на М п распределение m-мерных подпространств. Если Gявляется ортогональной группой (и, R) - подгруппой элементов из GL(n,R), сохраняющих скалярное произведение в Rn, то G- структура есть риманова метрика на М п, т. Е. Поле положительно определенного симметр:;ч. Тензора gij. Аналогично, частными случаями G-структуры на М п являются почти комплексная и комплексная структуры. Обобщением G-структуры является инфинитезимальная структура r-го порядка r>1 (или G-структура высшего порядка).

Здесь (X, р) М n )является главным расслоением реперов r-порядка на М п,a G - замкнутой подгруппой eго структурной группы Dnr. Важными частными случаями Д.-г. С. Являются связности. Напр., связность в главном расслоении получается, если в роли М n выступает пространство нек-рого главного расслоения ( Р, р, В), а G-структуро на Рявляется такое распределение m-мерных, m=dim P-dimB, подпространств, дополнительных к касательным пространствам слоев, к-рое инвариантно относительно действия в Рструктурной группы расслоения. Связности на многообразии М п являются частными случаями Д.-г. С. На М п, но более общими, чем G-cтpyктуры на М п. Напр., аффинная связность на М п, к-рую можно определить полем объекта связности получается как Д.-г.

С. На М п, при к-рой (X, р, М n )является главным расслоением реперов 2-го порядка, - его структурной группой D2n а пространство Fпредставления группы Dn- пространством R3n с координатами где представление определяется формулами здесь - координаты элемента группы В случае проективной связности на Mn имеют дело с нек-рым представлением группы Dв пространстве R3(n+1), а в случае связностей высшего порядка - с представлениями группы При таком подходе теория Д.-г. С. Имеет самый тесный контакт с геометрических объектов теорией. Лит.:[1] Вагнер В.