Дифференциальное Уравнение Абстрактное

- дифференциальное уравнение в том или ином абстрактном пространстве (гильбертовом, банаховом и т. П.) или дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами. Классическим и наиболее часто встречающимся Д. У. А. Является уравнение где неизвестная функция u= u(t)принадлежит нек-рому функциональному пространству X, и - оператор (как правило - линейный), действующий в этом пространстве. Если оператор Аограничен и постоянен (не зависит от t), то формула дает единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию u(0)=u0. Для переменного A(t). Оператор е (t-t)A заменяется эволюционным оператором u(t,x). В случае неограниченного оператора Арешения задачи Коши u(0)=u0 могут. Не существовать при нек-рых u0, быть не единственными, обрываться при t<T.

Исчерпывающее изучение однородного (/=0) уравнения (1) с постоянным оператором дается теорией полугрупп, а вопросы существования и единственности решаются в терминах свойств резольвенты А(см. [1], [5]). Этот же метод применим и для переменного оператора при условиях его гладкой зависимости от t (см. [5]). Другим методом изучения уравнения (1), дающим, как правило, более грубые результаты, но применимым к более широким классам уравнений (в некоторых случаях - даже к нелинейным), является использование энергетич. Неравенств. получаемых также за счет тех или иных предположений относительно А. Для гильбертова пространства Xпостулируются, как правило, различные свойства положительности скалярного произведения ( А и, и )(см.

[2]). Все сказанное в значительной степени распространяется и на более общее Д. У. А. рассматриваемое при условиях и(0)=u0, u't(0) =u1. Зачастую, изучение уравнения (2) тем или иным приемом (сведением к системе уравнений 1-го порядка, заменой расщеплением левой части на произведение двух операторов 1-го порядка и т. П.) сводится к изучению уравнения (1). Основным источником интереса к Д. У. А. Является возможность сведения к уравнениям вида (1) или (2) так наз. Смешанных задач в цилиндрич. Областях для классических параболич. И гиперболич. Уравнений 2-го порядка. Функция u(t, x1, ..., х n )рассматривается как функция tсо значениями в соответствующем пространстве функций от х, а дифференцирования по х, вместе с граничными условиями на боковых поверхностях цилиндра (образующие к-рого параллельны оси t), порождают операторы А, А k.

Уравнения (1), (2), в к-рых постулируемые свойства операторов А, А k совпадают с получающимися в описанной выше ситуации, наз. Абстрактными параболическими или гиперболическими. Реже рассматриваются абстрактные эллиптич. Операторы. Часто формулируются в терминах полугрупп и уравнения (1) задачи в теории рассеяния [3], рассматривающей интервал Сведение задач для дифференциальных уравнений с частными производными к задачам для Д. У. А. (1) и (2) оказывается весьма удобным при разработке приближенных (напр., разностных [4]) методов решения и при рассмотрении асимптотич. Методов ("малый" и "большой" параметры). Общие Д. У. А. С оператором и граничными условиями на обоих концах интервала (О, Т)при неограниченных операторах А k, поддаются содержательному изучению лишь при весьма специальных предположениях относительно Ak.

Для ограниченных Ak соответствующее обобщение теории обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает затруднений. Лит.:[1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. С англ., [2 изд.], М., 1962. [2] Lions J., Equations differentielles operatiounelies et problemes aux limites, В., 19G1. [3] Лакс П.,Филлипс Р., Теория рассеяния, пер. С англ., М., 1971. [4] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971. [5] Креин С. Г., Линейные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971. А. А. Дезин..