Дифференциальные Уравнения

система бесконечного порядка - бесконечная совокупность дифференциальных уравнений содержащая бесконечное множество неизвестных функций xk(t), k=1,2, . ., и их производные. Решением такой системы наз. Множество функций {xk(t)}, обращающих все уравнения системы в тождества. Система (1) наз. Счетной, в отличие от несчетной системы где а пробегает нек-рое несчетное множество значений. Система вида (2) содержит в себе несчетное множество функций {xa(t)}, подлежащих определению, и их производные. Рассматриваются также Д. У., содержащие бесконечное множество неизвестных функций двух и более аргументов и их частные производные. Начало развитию теории систем Д. У. Вида (1) положила работа А. Н. Тихонова [1]. Основным ее результатом является доказательство теоремы существования решения системы (1) в предположении, что ее правые части определены при произвольных значениях х 1, х 2, .

.(), непрерывны по отношению к x1, х 2,. При фиксированном значении t, измеримы по t при фиксированных х 1, х 2,. И ограничены некоторыми суммируемыми на сегменте [t0, t0+a2]. Функциями Mi(t), i=1, 2, . При дополнительных предположениях о выполнении обобщенных условий Липшица и о сходимости и равномерной ограниченности рядов доказана теорема единственности решения xi(t), i=1, 2, . ., системы (1) при заданных начальных условиях такого, что ряд сходится. Дальнейшее развитие теория счетных систем получила в направлении исследований условий ограниченности решений (см. [2]), аналитической зависимости от параметра, устойчивости по Ляпунову и других свойств решений (см. [2]). Особенно глубоко изучены линейные и квазилинейные счетные системы дифференциальных уравнений.

К изучению систем бесконечного порядка плодотворно применяются операторные методы. Так, например, вместо системы (1) рассматривается операторное уравнение где x(t)- бесконечномерный вектор нек-рого банахова пространства В, f(t, x)- бесконечномерная вектор-функция со значениями в том же пространстве, производная рассматривается в смысле Фреше. В частности, для уравнения (3) были получены следующие результаты (см. [3]). Если f(t, x)- ограниченный оператор, то из Выполнения локальной теоремы существования и отрицательности генерального показателя (см. [3]) следует неограниченная продолжимость решений с достаточно близкими к нулю начальными значениями. Если (где А- бесконечномерная постоянная матрица) - ограниченный оператор, то в гильбертовом пространстве ограниченность всех решений при имеет место тогда и только тогда, когда оператор Аподобен косоэрмитову.

В этом же случае найдено явное выражение решения задачи Коши с начальными условиями x(t0)=x0 в виде где е Аt- операторная экспонента. Если где Аимеет прежнее значение, a f(t)- непрерывная T-периодическая вектор-функция, то существует единственное периодическое решение, когда спектр s(А)оператора Ане содержит точек мнимой оси 2kpi/Т, k=0,1, 2, . Для случая найдены условия устойчивости по Ляпунову в нуле в виде требования при достаточно малом q>0 и расположении спектра оператора Ав левой открытой полуплоскости. Лит.:[1] Тихонов А. Н., "Матем. Сб.", 1934, т. 41, в. 4, с. 551-60. [2] Валеев К. Г., Жаутыков О. А., Бесконечные системы дифференциальных уравнений, А.-А., 1974. [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.

И. П. Макаров..