Длины И Площади Принцип

- принцип, выражающий зависимость между длинами кривых, принадлежащих нек-рому специальному семейству, и площадью, покрываемой этим семейством кривых. Пусть w=f(z)- регулярная в открытом множестве Gфункция. Пусть n(w)- число корней уравнения f(z)=w, лежащих в G. L(r)- суммарная длина кривых в G, на к-рых |f(z)|=p. А-площадь Gи тогда Д. И п. П. Выражается неравенством (см. [2]). Д. И п. П. Получил широкое применение в теории функций комплексного переменного (см. [1] - [4]). Д. И п. П. Используется, напр., при изучении свойств функций, регулярных в круге |z|<l. В частности, с помощью Д. И п. П. Доказывается следующая теорема (см. [2]). Если функция w=f(z)=a0+a1z+ ...,mq=max |av|, регулярна в |z|<1 и имеет в нем не более qнулей, из которых не более h лежит в |z|<1/2, то где (д)- константа, зависящая от д.

Д. И п. П. И различные его обобщения (напр., длины и объема принцип) применяются и в случае га-мерных пространств к квазиконформным отображениям, а также к отображениям с ограниченным Дирихле интегралом (см. [4] - [7]). При выводе Д. И п. П. Существенным образом используется неравенство Буняковского. Дальнейшее рассмотрение связи между длинами кривых и площадью, покрываемой ими, привело к важному методу изучения однолистных конформных и квазиконформных отображений - экстремальной метрики методу (см., напр., [8]). В конце 20-х - начале 30-х гг. Метод экстремальной метрики в менее совершенной форме (метод полос) успешно применялся для исследования свойств указанных выше отображений односвязных и многосвязных областей.

Лит.:[1] Ahlfors L. W., "Acta Soc. Scient. Fennica", 1930, A. 1, №9. [2] Xeйман В. К., Многолистные функции, пер. С англ., М., 1960. [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. С нем., М,-Л., 1941. [4] Суворов Г. Д., Семейства плоских топологических отображений, Новосиб., 1965. [5] Крейнес М. А., "Матем. Сб.", 1941, т. 9, № 3, с. 713-19. [6] Овчинников И. С, "Метрические вопросы теории функций и отображений", 1971, в.