Инволюция

- 1) Эндоморфизм второго порядка, т. Е. Отображение объекта на себя, квадрат к-рого является единичным морфизмом (см. Также Категория с инволюцией). Иногда инволюцией наз. Также периодическое отображение, т. Е. Морфпзм, нек-рая ненулевая степень к-рого является единичным морфизмом. Минимальная из таких степеней наз. Периодом И. Часто под И. Группы понимают ее элементы второго порядка. И. В алгебре Енад полем действительных или комплексных чисел - отображение алгебры Ена себя, удовлетворяющее следующим аксиомам инволюции. 1) х** = х для всех 2) (x+y)* = х*+у* для всех 3)для всех и всех чисел lиз соответствующего поля. 4) ( ху)* = у*х* для всех Алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная И., наз. Симметричной алгеброй.

Лит.:[1] Коннер П.,Флойд Э., Гладкие периодичекие отображения, пер. С англ., М., 1969. 2) И. В проективной геометрии -проективное преобразование, квадрат к-рого есть тождественное преобразование. Не тождественная И. Действительной проективной прямой имеет только две неподвижные точки (гиперболическая И.) либо не имеет неподвижных точек (эллиптическая И.). Если А и В- неподвижные точки гиперболической И., то соответствующие друг другу точки М и М' гармонически разделяют пару А, В. На проективной плоскости всякая И. Есть гиперболическая гомология. Лит. [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд.,М., 1977. 3)И. На алгебраическом многообразии - автоморфизм конечного порядка алгебраич. Многообразия. Если X- неособое проективное алгебраич.

Многообразие над алгебраически замкнутым полем kи g- И. Многообразия X, то фактор-многообразие Х| {g} по действию циклич. Группы {g} является проективным многообразием и наз. Образом инволюции g. Множество неподвижных точек F(g)инволюции gобразует неособое подмногообразие в X. В случае, когда F(g)имеет в каждой своей точке коразмерность, равную 1, образ инволюции gявляется неособым многообразием. Численные инварианты неособой модели многообразия Х {g} могут быть вычислены с помощью Лефшеца формулы. Лит.:[1] Атья М., Зингер И., "Успехи матем. Наук", 1969, т. 24, в. 1, с. 127-82. [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1975, с. 77-170. [3] Gоdeaux L., Theorie des involutions cycliques appartenant a une surface algebrique et applications, Roma, [1963]..